Номер 20.21, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.21 Случайным образом выбирают одно из решений неравенства $|x - 4| \le 5$. Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства:

а) $|x| \le 1;$ в) $4 \le |x| \le 5;$

б) $|x| \ge 2;$ г) $|x + 4| \le 5?$

Сначала найдем множество всех решений основного неравенства $|x - 4| \le 5$. Это неравенство равносильно двойному неравенству $-5 \le x - 4 \le 5$. Прибавив 4 ко всем частям, получим $-1 \le x \le 9$.

Таким образом, множество всех возможных решений (пространство элементарных событий) — это отрезок $S = [-1, 9]$. Длина этого отрезка, которая является мерой этого множества, равна $L(S) = 9 - (-1) = 10$.

Вероятность в задачах такого типа (геометрическая вероятность) вычисляется как отношение длины множества благоприятных исходов к длине всего множества возможных исходов.

а) $|x| \le 1$

Решениями неравенства $|x| \le 1$ является множество $A = [-1, 1]$.

Найдем, какая часть этих решений принадлежит основному множеству $S$. Для этого найдем пересечение множеств $A$ и $S$: $A \cap S = [-1, 1] \cap [-1, 9] = [-1, 1]$.

Длина этого множества (благоприятных исходов) равна $L(A \cap S) = 1 - (-1) = 2$.

Тогда искомая вероятность равна $P = \frac{L(A \cap S)}{L(S)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

б) $|x| \ge 2$

Решениями неравенства $|x| \ge 2$ является объединение двух промежутков: $B = (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$.

Найдем пересечение множества $B$ с основным множеством $S$: $B \cap S = ((-\infty, -2] \cup [2, \infty)) \cap [-1, 9] = [2, 9]$.

Длина множества благоприятных исходов равна $L(B \cap S) = 9 - 2 = 7$.

Тогда искомая вероятность равна $P = \frac{L(B \cap S)}{L(S)} = \frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{7}{10}$.

в) $4 \le |x| \le 5$

Двойное неравенство $4 \le |x| \le 5$ равносильно объединению двух отрезков: $C = [-5, -4] \cup [4, 5]$.

Найдем пересечение множества $C$ с основным множеством $S$: $C \cap S = ([-5, -4] \cup [4, 5]) \cap [-1, 9] = [4, 5]$.

Длина множества благоприятных исходов равна $L(C \cap S) = 5 - 4 = 1$.

Тогда искомая вероятность равна $P = \frac{L(C \cap S)}{L(S)} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

г) $|x + 4| \le 5$

Неравенство $|x + 4| \le 5$ равносильно двойному неравенству $-5 \le x + 4 \le 5$. Вычитая 4 из всех частей, получаем $-9 \le x \le 1$. Множество решений — $D = [-9, 1]$.

Найдем пересечение множества $D$ с основным множеством $S$: $D \cap S = [-9, 1] \cap [-1, 9] = [-1, 1]$.

Длина множества благоприятных исходов равна $L(D \cap S) = 1 - (-1) = 2$.

Тогда искомая вероятность равна $P = \frac{L(D \cap S)}{L(S)} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.