Номер 20.19, страница 135, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.19 Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что:

a) среди выпавших чисел есть хотя бы одна единица;

б) сумма выпавших чисел не больше 3;

в) сумма выпавших чисел меньше 11;

г) произведение выпавших чисел меньше 27.

При бросании игрального кубика дважды существует $n = 6 \times 6 = 36$ равновозможных исходов. Каждый исход можно представить в виде упорядоченной пары чисел $(x, y)$, где $x$ — результат первого броска, а $y$ — результат второго. Вероятность любого события A вычисляется по формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n=36$ — общее число исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

а) среди выпавших чисел есть хотя бы одна единица;

Удобнее найти вероятность противоположного события: «среди выпавших чисел нет ни одной единицы». При каждом броске есть 5 исходов, в которых не выпадает единица (это числа 2, 3, 4, 5, 6). Таким образом, число комбинаций без единиц при двух бросках равно $m' = 5 \times 5 = 25$. Вероятность того, что не выпадет ни одной единицы, составляет $P(\text{нет единиц}) = \frac{25}{36}$. Искомая вероятность события «есть хотя бы одна единица» является дополнением до 1: $P(\text{хотя бы одна единица}) = 1 - P(\text{нет единиц}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$.

Ответ: $\frac{11}{36}$

б) сумма выпавших чисел не больше 3;

Событие «сумма выпавших чисел не больше 3» означает, что сумма равна 2 или 3, так как минимальная возможная сумма $1+1=2$. Благоприятными исходами (парами чисел) являются: (1, 1) для суммы, равной 2, и (1, 2), (2, 1) для суммы, равной 3. Общее число благоприятных исходов $m = 1 + 2 = 3$. Вероятность события равна $P = \frac{m}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

Ответ: $\frac{1}{12}$

в) сумма выпавших чисел меньше 11;

Событие «сумма выпавших чисел меньше 11» означает, что сумма не равна 11 или 12. Найдем вероятность противоположного события: «сумма выпавших чисел больше или равна 11». Исходы, благоприятные для противоположного события: (5, 6) и (6, 5) для суммы, равной 11, и (6, 6) для суммы, равной 12. Число исходов, где сумма больше или равна 11, равно $m' = 2 + 1 = 3$. Вероятность этого события: $P(\text{сумма} \ge 11) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Тогда искомая вероятность равна $P(\text{сумма} < 11) = 1 - P(\text{сумма} \ge 11) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.

Ответ: $\frac{11}{12}$

г) произведение выпавших чисел меньше 27.

Найдем вероятность противоположного события: «произведение выпавших чисел больше или равно 27». Перечислим все исходы $(x, y)$, для которых произведение $x \cdot y \ge 27$. Максимальное произведение $6 \times 6 = 36$. Если $x \le 4$, то максимальное произведение $4 \times 6 = 24$, что меньше 27. Если $x = 5$, то $5y \ge 27$, откуда $y \ge 5.4$. Единственный подходящий исход для $y$ — это 6. Получаем пару (5, 6). Если $x = 6$, то $6y \ge 27$, откуда $y \ge 4.5$. Подходящие исходы для $y$ — это 5 и 6. Получаем пары (6, 5) и (6, 6). Таким образом, всего существует 3 исхода, где произведение больше или равно 27: (5, 6), (6, 5), (6, 6). Число благоприятных исходов для противоположного события $m' = 3$. Вероятность противоположного события: $P(\text{произведение} \ge 27) = \frac{m'}{n} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. Искомая вероятность равна $P(\text{произведение} < 27) = 1 - P(\text{произведение} \ge 27) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$.

Ответ: $\frac{11}{12}$