Номер 20.22, страница 136, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.22 В прямоугольном треугольнике $ABC$ катет $AC$ равен 6, а катет $BC$ равен 8. Из вершины $C$ провели высоту $CH$ и медиану $CM$. В треугольнике случайно отмечают точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется:

а) в треугольнике $ACM$;

б) в треугольнике $ACH$;

в) в треугольнике $CHM$;

г) внутри окружности, вписанной в треугольник $ABC$?

Вероятность попадания случайно выбранной точки в некоторую область внутри треугольника равна отношению площади этой области к площади всего треугольника. Обозначим искомую вероятность как $P$. Тогда $P = \frac{S_{области}}{S_{ABC}}$.

Сначала найдем основные параметры исходного прямоугольного треугольника $ABC$. Дано: катет $AC = 6$, катет $BC = 8$. Угол $\angle C = 90^\circ$.

1. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB^2 = AC^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$. $AB = \sqrt{100} = 10$.

2. Найдем площадь треугольника $ABC$, которая будет служить "пространством всех элементарных исходов": $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$.

а) в треугольнике ACM;

$CM$ — это медиана, проведенная из вершины $C$ к гипотенузе $AB$. Свойство медианы заключается в том, что она делит треугольник на два треугольника равной площади (равновеликих), так как у них общее основание $AB$ делится пополам ($AM = MB$), а высота, опущенная из вершины $C$, у них общая. Следовательно, площадь треугольника $ACM$ составляет ровно половину площади треугольника $ABC$. $S_{ACM} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$. Вероятность того, что точка окажется в треугольнике $ACM$, равна: $P = \frac{S_{ACM}}{S_{ABC}} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) в треугольнике ACH;

$CH$ — это высота, проведенная из вершины прямого угла $C$ к гипотенузе $AB$. Высота делит прямоугольный треугольник на два треугольника, каждый из которых подобен исходному. Таким образом, $\triangle ACH \sim \triangle ABC$. Вероятность попадания точки в $\triangle ACH$ равна отношению их площадей. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон (в данном случае, гипотенуз): $k = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Следовательно, искомая вероятность равна: $P = \frac{S_{ACH}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$.

Ответ: $\frac{9}{25}$

в) в треугольнике CHM;

Для нахождения площади треугольника $CHM$ воспользуемся формулой $S_{CHM} = \frac{1}{2} \cdot HM \cdot CH$. Для этого нам нужно найти длины высоты $CH$ и отрезка $HM$ на гипотенузе.

1. Высоту $CH$ найдем, выразив площадь треугольника $ABC$ через гипотенузу $AB$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH \Rightarrow 24 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot CH \Rightarrow CH = \frac{24 \cdot 2}{10} = 4.8$.

2. Отрезок $HM$ — это расстояние между основанием высоты $H$ и основанием медианы $M$. $M$ — середина гипотенузы, поэтому $AM = \frac{AB}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

3. Длину отрезка $AH$ (проекции катета $AC$ на гипотенузу) найдем из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике: $AC^2 = AH \cdot AB$. $6^2 = AH \cdot 10 \Rightarrow 36 = 10 \cdot AH \Rightarrow AH = 3.6$.

4. Зная, что точка $H$ лежит между $A$ и $M$ (так как $AH=3.6 < AM=5$), найдем длину $HM$: $HM = AM - AH = 5 - 3.6 = 1.4$.

5. Теперь вычислим площадь треугольника $CHM$: $S_{CHM} = \frac{1}{2} \cdot HM \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 1.4 \cdot 4.8 = 0.7 \cdot 4.8 = 3.36$.

6. Вероятность попадания точки в треугольник $CHM$ равна: $P = \frac{S_{CHM}}{S_{ABC}} = \frac{3.36}{24} = 0.14 = \frac{14}{100} = \frac{7}{50}$.

Ответ: $\frac{7}{50}$

г) внутри окружности, вписанной в треугольник ABC?

Вероятность равна отношению площади вписанной окружности к площади треугольника. Площадь окружности вычисляется по формуле $S_{окр} = \pi r^2$, где $r$ — радиус вписанной окружности. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности можно найти по формуле: $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. $r = \frac{AC + BC - AB}{2} = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Теперь найдем площадь вписанной окружности: $S_{окр} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$. Искомая вероятность равна: $P = \frac{S_{окр}}{S_{ABC}} = \frac{4\pi}{24} = \frac{\pi}{6}$.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$