Номер 20.15, страница 134, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.15 В квадратное уравнение $x^2 + bx + 15 = 0$ в качестве коэффициента $b$ подставляют некоторое натуральное число от 2 до 11. Найдите вероятность того, что у полученного квадратного уравнения:

а) будут два различных корня;

б) не будет корней;

в) будет хотя бы один отрицательный корень;

г) будет хотя бы один положительный корень.

Дано квадратное уравнение $x^2 + bx + 15 = 0$. Коэффициент $b$ выбирается случайным образом из множества натуральных чисел от 2 до 11 включительно. Это множество $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\}$.

Общее число возможных значений для коэффициента $b$ равно $11 - 2 + 1 = 10$. Это общее число $N$ равновероятных исходов для нашего вероятностного эксперимента.

Наличие и количество действительных корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$. Для нашего уравнения с коэффициентами $a=1$ и $c=15$, дискриминант вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac = b^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = b^2 - 60$.

а) будут два различных корня;

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его дискриминант строго положителен: $D > 0$. Это условие приводит к неравенству: $b^2 - 60 > 0$, что эквивалентно $b^2 > 60$.

Нам нужно найти, сколько значений $b$ из нашего множества $\{2, ..., 11\}$ удовлетворяют этому неравенству. Поскольку $7^2 = 49 < 60$, а $8^2 = 64 > 60$, неравенству удовлетворяют все целые числа из заданного диапазона, начиная с 8. Это значения $b \in \{8, 9, 10, 11\}$.

Таким образом, число благоприятных исходов $m$ равно 4. Вероятность этого события $P(A)$ равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{m}{N} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

б) не будет корней;

Уравнение не имеет действительных корней, если его дискриминант отрицателен: $D < 0$. Это условие приводит к неравенству: $b^2 - 60 < 0$, что эквивалентно $b^2 < 60$.

Найдем, какие значения $b$ из множества $\{2, ..., 11\}$ удовлетворяют этому неравенству. Так как $7^2 = 49 < 60$ и $8^2 = 64 > 60$, неравенство выполняется для всех целых чисел из нашего диапазона, которые меньше 8. Это значения $b \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7\}$.

Число благоприятных исходов $m$ равно 6. Вероятность этого события $P(B)$ равна: $P(B) = \frac{m}{N} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

в) будет хотя бы один отрицательный корень;

Для анализа знаков корней воспользуемся теоремой Виета. Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то:
$x_1 + x_2 = -b$
$x_1 \cdot x_2 = 15$

Во-первых, чтобы у уравнения были действительные корни, необходимо, чтобы $D \ge 0$. Как мы выяснили в пункте а), это выполняется для $b \in \{8, 9, 10, 11\}$ (случай $D=0$ для целочисленных $b$ невозможен, т.к. $\sqrt{60}$ не является целым числом).

Во-вторых, проанализируем знаки корней для этих значений $b$. Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 15$. Так как оно положительно, корни имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные). Сумма корней $x_1 + x_2 = -b$. Так как $b$ — натуральное число ($b \ge 2$), то $-b$ всегда отрицательно. Если два числа имеют одинаковый знак, а их сумма отрицательна, то оба этих числа должны быть отрицательными.

Следовательно, если у уравнения есть корни, то они оба отрицательные. Таким образом, событие "будет хотя бы один отрицательный корень" эквивалентно событию "уравнение имеет действительные корни". Это происходит при $b \in \{8, 9, 10, 11\}$, то есть в 4 случаях из 10.

Вероятность этого события $P(C) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5}$

г) будет хотя бы один положительный корень.

Как было установлено в решении пункта в), если у данного уравнения существуют действительные корни (при $b \in \{8, 9, 10, 11\}$), то они оба являются отрицательными. Это следует из теоремы Виета: $x_1 \cdot x_2 = 15 > 0$ и $x_1 + x_2 = -b < 0$.

Таким образом, не существует такого натурального значения $b$, при котором уравнение имело бы хотя бы один положительный корень. Это событие является невозможным.

Число благоприятных исходов $m$ равно 0. Вероятность невозможного события равна нулю: $P(D) = \frac{0}{10} = 0$.

Ответ: $0$