Номер 20.10, страница 133, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.10 Из костей домино случайно выбирают одну. Найдите вероятность того, что:

а) она не является дублем;

б) на ней не выпала тройка;

в) произведение очков на ней меньше 29;

г) выпавшие очки различаются больше чем на 1.

Стандартный набор домино содержит кости со значениями очков от 0 до 6. Каждая кость представляет собой неупорядоченную пару чисел $(a, b)$, где $a, b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Общее число костей домино $N$ в наборе можно найти как число сочетаний с повторениями из 7 элементов (числа от 0 до 6) по 2:

$N = C_{7+2-1}^{2} = C_{8}^{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$.

Таким образом, общее число равновероятных исходов при выборе одной кости равно 28.

а) она не является дублем;

Событие A — выбранная кость не является дублем. Дублем называется кость, у которой очки на обеих половинках совпадают. В стандартном наборе домино 7 дублей: (0,0), (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).

Количество костей, которые не являются дублями, равно общему числу костей минус число дублей. Назовем это число благоприятных исходов $m_A$.

$m_A = 28 - 7 = 21$.

Вероятность $P(A)$ того, что случайно выбранная кость не является дублем, вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m_A}{N} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) на ней не выпала тройка;

Событие B — на выбранной кости нет очков, равных трем. Для нахождения вероятности этого события найдем сначала количество костей, на которых есть тройка. Это следующие кости: (0,3), (1,3), (2,3), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6). Всего таких костей 7.

Следовательно, количество костей, на которых нет тройки (число благоприятных исходов $m_B$), равно:

$m_B = 28 - 7 = 21$.

Вероятность $P(B)$ данного события равна:

$P(B) = \frac{m_B}{N} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

в) произведение очков на ней меньше 29;

Событие C — произведение очков на кости меньше 29. Найдем количество костей, для которых это условие не выполняется, то есть произведение очков больше или равно 29. Пусть очки на кости $(a, b)$, где $0 \le a \le b \le 6$.

Переберем кости, для которых $a \cdot b \ge 29$:

• Кость (5,6): $5 \cdot 6 = 30 \ge 29$.
• Кость (6,6): $6 \cdot 6 = 36 \ge 29$.

Для всех остальных костей произведение будет меньше. Например, для кости (4,6) произведение равно 24, а для (5,5) — 25. Таким образом, только 2 кости не удовлетворяют условию.

Число благоприятных исходов $m_C$ (произведение меньше 29) равно:

$m_C = 28 - 2 = 26$.

Вероятность $P(C)$ этого события:

$P(C) = \frac{m_C}{N} = \frac{26}{28} = \frac{13}{14}$.

Ответ: $\frac{13}{14}$.

г) выпавшие очки различаются больше чем на 1.

Событие D — разница между очками на кости строго больше 1. Пусть очки на кости $(a, b)$, где $a \le b$. Условие записывается как $b - a > 1$.

Найдем количество костей, для которых это условие не выполняется, то есть разница очков меньше или равна 1 ($b - a \le 1$).

1. Разница равна 0 ($b-a=0$): это все 7 дублей.
2. Разница равна 1 ($b-a=1$): это кости с соседними значениями очков: (0,1), (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6). Таких костей 6.

Общее количество костей, где разница не больше 1, составляет $7 + 6 = 13$.

Следовательно, количество костей, у которых разница очков больше 1 (число благоприятных исходов $m_D$), равно:

$m_D = 28 - 13 = 15$.

Вероятность $P(D)$ этого события:

$P(D) = \frac{m_D}{N} = \frac{15}{28}$.

Ответ: $\frac{15}{28}$.