Номер 20.4, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.4 Имеются четыре кандидата: Владимир Владимирович, Василий Всеволодович, Вадим Владимирович и Владимир Венедиктович. Из них случайно выбирают двоих. Какова вероятность того, что:

а) будет выбран Владимир Венедиктович;

б) отца одного из кандидатов зовут так же, как и самого кандидата;

в) будут выбраны кандидаты с одинаковыми именами;

г) будут выбраны кандидаты с разными отчествами?

Для решения задачи сначала определим общее число возможных исходов. Имеется 4 кандидата, из которых случайным образом выбирают двоих. Порядок выбора не важен, поэтому общее число исходов $N$ равно числу сочетаний из 4 по 2:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Таким образом, существует 6 равновероятных пар кандидатов. Обозначим кандидатов для удобства: К1 – Владимир Владимирович, К2 – Василий Всеволодович, К3 – Вадим Владимирович, К4 – Владимир Венедиктович.

а) будет выбран Владимир Венедиктович;

Событие А заключается в том, что в выбранной паре окажется Владимир Венедиктович (К4). Это произойдет, если он будет выбран в паре с любым из трех других кандидатов (К1, К2 или К3). Следовательно, благоприятными исходами являются пары: {К1, К4}, {К2, К4}, {К3, К4}. Число благоприятных исходов $m_a = 3$. Вероятность события А равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P(A) = \frac{m_a}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) отца одного из кандидатов зовут так же, как и самого кандидата;

Событие B заключается в том, что у одного из выбранных кандидатов имя совпадает с именем его отца. Проанализируем данные кандидатов: только у Владимира Владимировича (К1) имя "Владимир" совпадает с именем отца (отчество "Владимирович"). У остальных кандидатов имена и имена отцов различаются. Таким образом, событие B произойдет, если в выбранной паре будет Владимир Владимирович (К1). Благоприятными исходами являются пары, содержащие К1: {К1, К2}, {К1, К3}, {К1, К4}. Число благоприятных исходов $m_b = 3$. Вероятность события B:

$P(B) = \frac{m_b}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) будут выбраны кандидаты с одинаковыми именами;

Событие C заключается в том, что у обоих выбранных кандидатов одинаковые имена. Выпишем имена кандидатов: Владимир (К1), Василий (К2), Вадим (К3), Владимир (К4). Одинаковые имена только у Владимира Владимировича (К1) и Владимира Венедиктовича (К4). Следовательно, событие C произойдет только если будет выбрана пара {К1, К4}. Существует только один такой благоприятный исход, поэтому $m_c = 1$. Вероятность события C:

$P(C) = \frac{m_c}{N} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

г) будут выбраны кандидаты с разными отчествами?

Событие D заключается в том, что у выбранных кандидатов разные отчества. Выпишем отчества: Владимирович (К1), Всеволодович (К2), Владимирович (К3), Венедиктович (К4). Одинаковые отчества имеют Владимир Владимирович (К1) и Вадим Владимирович (К3). Проще найти вероятность противоположного события D' — "будут выбраны кандидаты с одинаковыми отчествами". Это событие наступает только при выборе пары {К1, К3}. Число благоприятных исходов для D' равно 1, и его вероятность $P(D') = \frac{1}{6}$. Вероятность события D, являющегося противоположным к D', равна:

$P(D) = 1 - P(D') = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$