Номер 20.2, страница 132, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

20.2 Монету подбрасывают три раза. Какова вероятность того, что:

а) в последний раз выпадет решка;

б) ни разу не выпадет орёл;

в) число выпадений орла в два раза больше числа выпадений решки;

г) при первых двух подбрасываниях результаты будут одинаковы?

Для решения задачи сначала определим все возможные исходы при троекратном подбрасывании монеты. Обозначим выпадение орла буквой «О», а решки — буквой «Р». При каждом подбрасывании есть два равновероятных исхода. Так как монету подбрасывают три раза, общее число всех возможных исходов (элементарных событий) равно $N = 2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.

Перечислим все возможные комбинации (пространство элементарных исходов):

• ООО (три орла)
• ООР (два орла, затем решка)
• ОРО (орёл, решка, орёл)
• ОРР (орёл, затем две решки)
• РОО (решка, затем два орла)
• РОР (решка, орёл, решка)
• РРО (две решки, затем орёл)
• РРР (три решки)

Вероятность любого события $A$ вычисляется по формуле классической вероятности: $P(A) = \frac{m}{N}$, где $m$ — число благоприятствующих этому событию исходов, а $N$ — общее число всех равновозможных исходов.

а) в последний раз выпадет решка;
Найдём количество исходов, при которых третий результат — решка («Р»). Это следующие комбинации: ООР, ОРР, РОР, РРР.
Число благоприятствующих исходов $m = 4$.
Общее число исходов $N = 8$.
Вероятность данного события: $P = \frac{m}{N} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) ни разу не выпадет орёл;
Это событие означает, что все три раза выпала решка. Этому условию соответствует только одна комбинация: РРР.
Число благоприятствующих исходов $m = 1$.
Общее число исходов $N = 8$.
Вероятность данного события: $P = \frac{m}{N} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

в) число выпадений орла в два раза больше числа выпадений решки;
Пусть $k_О$ — число выпадений орла, а $k_Р$ — число выпадений решки. По условию, $k_О = 2k_Р$. Так как всего было 3 подбрасывания, то $k_О + k_Р = 3$.
Подставим первое уравнение во второе: $2k_Р + k_Р = 3$, откуда $3k_Р = 3$, и $k_Р = 1$. Следовательно, $k_О = 2$.
Значит, нам нужно найти исходы, в которых орёл выпал 2 раза, а решка — 1 раз. Это следующие комбинации: ООР, ОРО, РОО.
Число благоприятствующих исходов $m = 3$.
Общее число исходов $N = 8$.
Вероятность данного события: $P = \frac{m}{N} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$

г) при первых двух подбрасываниях результаты будут одинаковы?
Это означает, что первые два результата — это либо «ОО», либо «РР».
Исходы, начинающиеся с «ОО»: ООО, ООР.
Исходы, начинающиеся с «РР»: РРО, РРР.
Всего благоприятствующих исходов: ООО, ООР, РРО, РРР.
Число благоприятствующих исходов $m = 4$.
Общее число исходов $N = 8$.
Вероятность данного события: $P = \frac{m}{N} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$