Страница 126, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

1. Покажите схематически, как выглядит график функции $y = x^{2n}, n \in \mathbb{N}$.

1.

Рассмотрим функцию $y = x^{2n}$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $n = 1, 2, 3, \ldots$).

Показатель степени $2n$ всегда является положительным чётным целым числом. Например:

• При $n=1$, получаем функцию $y = x^2$ (стандартная парабола).
• При $n=2$, получаем функцию $y = x^4$.
• При $n=3$, получаем функцию $y = x^6$.

Все эти функции обладают рядом общих свойств, которые и определяют схематический вид их графиков:

1. Область определения: Функция определена для любых действительных значений $x$. Область определения $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
2. Область значений: Так как любое действительное число, возведённое в чётную степень, является неотрицательным, то $y \ge 0$. Область значений $E(y) = [0; +\infty)$. График целиком лежит в верхней полуплоскости.
3. Чётность: Функция является чётной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^{2n} = x^{2n} = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).
4. Опорные точки: Все графики семейства $y = x^{2n}$ проходят через три общие точки, так как их координаты не зависят от $n$:
   • Точка $(-1, 1)$, поскольку $(-1)^{2n} = 1$.
   • Точка $(0, 0)$, поскольку $0^{2n} = 0$.
   • Точка $(1, 1)$, поскольку $1^{2n} = 1$.
5. Поведение в зависимости от n: С увеличением натурального числа $n$ (т.е. с ростом показателя степени $2n$) форма графика меняется следующим образом:
   • В интервале $x \in (-1, 1)$, чем больше $n$, тем меньше значение $x^{2n}$. Поэтому график становится более "плоским" и сильнее прижимается к оси абсцисс ($Ox$). Например, $(0.5)^4 = 0.0625$, что меньше, чем $(0.5)^2 = 0.25$.
   • При $|x| > 1$, чем больше $n$, тем больше значение $x^{2n}$. Поэтому график становится более "крутым" и растет гораздо быстрее. Например, $2^4 = 16$, что больше, чем $2^2 = 4$.

Таким образом, схематически график функции $y = x^{2n}$ представляет собой U-образную кривую, симметричную относительно оси $Oy$, проходящую через начало координат. Чем больше $n$, тем более плоским становится "дно" кривой в окрестности точки $(0,0)$ и тем круче поднимаются ее "ветви".

Ниже приведено схематическое изображение графиков для $n=1$ ($y=x^2$) и $n=2$ ($y=x^4$) для сравнения.

На рисунке синим цветом показан график функции $y=x^2$ ($n=1$), а красным цветом — график функции $y=x^4$ ($n=2$). Видно, что красный график ($n=2$) лежит ниже синего на интервале $(-1,1)$ и выше — за пределами этого интервала, что иллюстрирует описанные свойства.

Ответ: График функции $y = x^{2n}$ при $n \in \mathbb{N}$ — это U-образная кривая, симметричная относительно оси ординат ($Oy$), проходящая через точки $(-1, 1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. График расположен в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). С увеличением $n$ дно графика на интервале $(-1, 1)$ становится более плоским и прижимается к оси абсцисс, а ветви при $|x| > 1$ становятся более крутыми.

$y-x$, $n \in \mathbb{N}$.

2. Покажите схематически, как выглядит график функции $y = x^{2n+1}$, $n \in \mathbb{N}$.

2.

Для того чтобы схематически изобразить график функции $y = x^{2n+1}$ при $n \in \mathbb{N}$, проанализируем ее свойства.

Анализ показателя степени
Показатель степени в функции равен $k = 2n+1$. Так как по условию $n$ — натуральное число (то есть $n = 1, 2, 3, \ldots$), то $2n$ — это всегда четное число ($2, 4, 6, \ldots$). Следовательно, $2n+1$ — это всегда нечетное число, не меньшее 3 ($3, 5, 7, \ldots$). Таким образом, мы рассматриваем семейство степенных функций с нечетным показателем, таких как $y=x^3$, $y=x^5$, $y=x^7$ и так далее.

Основные свойства функции $y = x^{2n+1}$

1. Область определения и область значений. Функция определена для всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$. Множество значений также охватывает все действительные числа, $y \in (-\infty; +\infty)$.
2. Симметрия. Функция является нечетной, поскольку для любого $x$ выполняется равенство: $y(-x) = (-x)^{2n+1} = (-1)^{2n+1}x^{2n+1} = -x^{2n+1} = -y(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0,0)$).
3. Опорные точки. График любой функции этого семейства проходит через три фиксированные точки, не зависящие от $n$:
   • $(-1, -1)$, так как $y(-1) = (-1)^{2n+1} = -1$.
   • $(0, 0)$, так как $y(0) = 0^{2n+1} = 0$.
   • $(1, 1)$, так как $y(1) = 1^{2n+1} = 1$.
4. Монотонность и поведение. Функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Ее производная $y' = (2n+1)x^{2n}$ всегда неотрицательна ($y' \ge 0$), так как $2n$ — четный показатель, и равна нулю только в точке $x=0$.
   • При $|x| < 1$, значения функции по модулю меньше, чем у $y=x$. Чем больше $n$, тем сильнее график "прижимается" к оси $Ox$.
   • При $|x| > 1$, значения функции по модулю больше, чем у $y=x$. Чем больше $n$, тем "круче" становится график, то есть он быстрее удаляется от оси $Ox$.
   Точка $(0,0)$ является точкой перегиба, так как в ней график меняет направление выпуклости (с выпуклости вверх при $x<0$ на вогнутость при $x>0$).

Все эти свойства определяют характерную форму графика, которая обобщает вид кубической параболы $y=x^3$.

Ответ:

Схематически график функции $y = x^{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$, представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат, которая проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Функция является возрастающей на всей числовой оси. В интервале $(-1, 1)$ график "прижат" к оси абсцисс, а при $|x|>1$ устремляется к бесконечности круче, чем график $y=x$. С увеличением натурального числа $n$ кривая становится еще более "плоской" вблизи нуля и еще более "крутой" при $|x|>1$.

3. Обладает ли график функции $y = x^{2n}, n \in N$, симметрией? Относительно чего?

Чтобы определить наличие и тип симметрии у графика функции $y = x^{2n}$, где $n \in N$, необходимо исследовать данную функцию на четность.

Напомним, что функция $y = f(x)$ называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. График четной функции симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

Рассмотрим нашу функцию $f(x) = x^{2n}$.

1. Область определения. Функция является степенной, ее область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Это множество симметрично относительно нуля.

2. Проверка условия четности. Найдем значение функции для аргумента $-x$:
$f(-x) = (-x)^{2n}$

По условию $n \in N$ (n — натуральное число), следовательно, показатель степени $2n$ всегда является положительным четным числом (например, 2, 4, 6 и т.д.). При возведении любого числа в четную степень результат всегда неотрицателен. В частности, для любого $x$:
$(-x)^{2n} = x^{2n}$

Таким образом, мы получили, что $f(-x) = x^{2n}$. Сравнивая это с исходной функцией $f(x) = x^{2n}$, видим, что выполняется равенство:
$f(-x) = f(x)$

Поскольку оба условия определения четной функции выполняются, функция $y = x^{2n}$ является четной. Это означает, что ее график обладает симметрией.

Ответ: Да, график функции $y = x^{2n}$, где $n \in N$, обладает симметрией. Он симметричен относительно оси ординат (оси $Oy$).

4. Является ли функция $y = x^{2n}$, $n \in N$, чётной или нечётной?

Чтобы определить, является ли функция $y = x^{2n}$, где $n \in N$, чётной или нечётной, необходимо проверить, как изменится значение функции при замене аргумента $x$ на $-x$.

Напомним определения:

• Функция $f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• Функция $f(x)$ называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим нашу функцию $f(x) = x^{2n}$.

1. Область определения. Данная функция является степенной, её область определения — множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Эта область симметрична относительно нуля, что позволяет нам проверять функцию на чётность/нечётность.

2. Проверка. Найдём значение функции для аргумента $-x$:

$f(-x) = (-x)^{2n}$

Используя свойство степеней $(a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k$, мы можем переписать выражение следующим образом:

$f(-x) = (-1)^{2n} \cdot x^{2n}$

По условию, $n$ является натуральным числом ($n \in N$), то есть $n$ принимает значения $1, 2, 3, \ldots$. Следовательно, показатель степени $2n$ всегда будет чётным натуральным числом (например, $2, 4, 6, \ldots$).

Число $-1$, возведённое в любую чётную степень, равно $1$. Таким образом, $(-1)^{2n} = 1$.

Подставим это значение обратно в наше выражение для $f(-x)$:

$f(-x) = 1 \cdot x^{2n} = x^{2n}$

Теперь сравним полученный результат с исходной функцией $f(x) = x^{2n}$. Мы видим, что выполняется равенство:

$f(-x) = f(x)$

Поскольку для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: Функция $y = x^{2n}$, где $n \in N$, является чётной.

5. Обладает ли график функции $y = x^{2n+1}, n \in N$, симметрией?

Относительно чего?

Чтобы определить, обладает ли график функции симметрией, необходимо исследовать функцию на четность или нечетность.

Рассмотрим функцию $y(x) = x^{2n+1}$, где по условию $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $n = 1, 2, 3, \ldots$).

Показатель степени в данной функции равен $2n+1$. Поскольку $n$ — натуральное число, то $2n$ — это всегда четное натуральное число. Следовательно, выражение $2n+1$ всегда будет нечетным натуральным числом (например, если $n=1$, то $2n+1=3$; если $n=2$, то $2n+1=5$, и так далее).

Таким образом, мы имеем дело со степенной функцией с нечетным натуральным показателем $k = 2n+1 \ge 3$.

Проверим функцию на нечетность. Функция является нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$. Область определения функции $y = x^{2n+1}$ — все действительные числа ($D(y) = (-\infty; +\infty)$), она симметрична относительно нуля.

Найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = (-x)^{2n+1}$

Так как показатель степени $2n+1$ является нечетным числом, то при возведении отрицательного основания в нечетную степень знак "минус" сохраняется:

$(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$

Сравним полученное выражение с $-y(x)$:

$-y(x) = -(x^{2n+1}) = -x^{2n+1}$

Поскольку $y(-x) = -y(x)$, функция является нечетной.

График любой нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0,0)$).

Ответ: Да, график функции $y = x^{2n+1}$, $n \in \mathbb{N}$, обладает симметрией. Он симметричен относительно начала координат.

6. Является ли функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, чётной или нечётной?

6.

Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, необходимо проверить выполнение следующих условий. Функция $y = f(x)$ называется:

• чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим заданную функцию $f(x) = x^{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $n = 1, 2, 3, \ldots$).

1. Область определения.
Данная функция является степенной функцией. Её область определения – все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Этот промежуток симметричен относительно нуля, поэтому можно переходить к проверке свойства чётности/нечётности.

2. Проверка равенства.
Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^{2n+1}$

По условию, $n$ — натуральное число. Выражение $2n$ всегда даёт чётное число при любом натуральном $n$. Тогда выражение $2n+1$ всегда будет нечётным числом. Например:

• Если $n=1$, то $2n+1 = 3$.
• Если $n=2$, то $2n+1 = 5$.
• Если $n=3$, то $2n+1 = 7$.

При возведении отрицательного основания в нечётную степень знак минус сохраняется. То есть, для любого нечётного показателя $k$ верно равенство $(-a)^k = -a^k$.

В нашем случае показатель степени $2n+1$ нечётный, следовательно:

$f(-x) = (-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$

Сравним полученный результат с $-f(x)$:

$-f(x) = -(x^{2n+1}) = -x^{2n+1}$

Таким образом, мы получили, что $f(-x) = -f(x)$. Это соответствует определению нечётной функции.

Вывод: Функция $y = x^{2n+1}$ при любом $n \in \mathbb{N}$ является нечётной.

Ответ: нечётная.

7. Какова область значений функции $y = x^{2n}$, $n \in N$?

Для того чтобы найти область значений функции $y = x^{2n}$, где $n \in \mathbb{N}$, необходимо определить, какие значения может принимать переменная $y$.

Множество натуральных чисел $\mathbb{N}$ — это $\{1, 2, 3, \ldots\}$. Следовательно, показатель степени $2n$ является положительным чётным числом для любого $n \in \mathbb{N}$. Например, если $n=1$, то $y=x^2$; если $n=2$, то $y=x^4$; если $n=3$, то $y=x^6$, и так далее.

Рассмотрим свойства степенной функции с чётным натуральным показателем.

1. Область определения данной функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty, +\infty)$, так как любое действительное число можно возвести в натуральную степень.

2. Проанализируем знак значения функции $y$. Мы можем переписать функцию как $y = (x^2)^n$.

• Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$. То есть $x^2 \ge 0$.
• Возведение неотрицательного числа ($x^2$) в натуральную степень ($n$) также даёт неотрицательный результат.
• Следовательно, для любого $x \in \mathbb{R}$, значение $y = x^{2n}$ будет неотрицательным: $y \ge 0$.

3. Выясним, все ли неотрицательные значения достигаются.

• Если $x=0$, то $y = 0^{2n} = 0$. Значит, значение $0$ принадлежит области значений. Это минимальное значение функции.
• Если $x$ стремится к $+\infty$ или к $-\infty$, то $x^{2n}$ (из-за чётного показателя) стремится к $+\infty$. Это означает, что функция не ограничена сверху и может принимать сколь угодно большие положительные значения.

Таким образом, функция $y = x^{2n}$ принимает все значения от 0 (включительно) до плюс бесконечности.

Ответ: $[0, +\infty)$.

8. Какова область значений функции $y = x^{2n+1}$, $n \in \mathbb{N}$?

Для того чтобы найти область значений функции $y = x^{2n+1}$ при условии, что $n \in \mathbb{N}$, необходимо определить множество всех возможных значений, которые может принимать переменная $y$.

Сначала проанализируем показатель степени. Поскольку $n$ является натуральным числом ($n=1, 2, 3, \ldots$), то выражение $2n$ всегда будет четным натуральным числом ($2, 4, 6, \ldots$). Следовательно, показатель степени $k = 2n+1$ всегда будет нечетным натуральным числом, большим или равным 3 ($k=3, 5, 7, \ldots$).

Таким образом, данная функция представляет собой степенную функцию с нечетным натуральным показателем, например $y=x^3$ (при $n=1$), $y=x^5$ (при $n=2$) и так далее.

Областью определения для любой степенной функции с натуральным показателем является множество всех действительных чисел, то есть $x$ может быть любым числом от $-\infty$ до $+\infty$.

Рассмотрим, какие значения принимает $y$ в зависимости от $x$:

1. Если $x$ принимает любое положительное значение ($x>0$), то $y = x^{2n+1}$ также будет положительным. При $x \to +\infty$, значение $y$ также стремится к $+\infty$.

2. Если $x=0$, то $y = 0^{2n+1} = 0$.

3. Если $x$ принимает любое отрицательное значение ($x<0$), то $y = x^{2n+1}$ будет отрицательным, так как возведение отрицательного числа в нечетную степень сохраняет знак. При $x \to -\infty$, значение $y$ также стремится к $-\infty$.

Так как функция непрерывна на всей числовой оси и принимает как сколь угодно большие положительные значения, так и сколь угодно малые отрицательные значения, а также значение ноль, ее область значений охватывает все действительные числа.

Ответ: Областью значений функции является множество всех действительных чисел, что можно записать как $E(y) = (-\infty; +\infty)$ или $E(y) = \mathbb{R}$.

9. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = x^{2n}$, $n \in N$, возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$;

б) функция $y = x^{2n}$, $n \in N$, возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0;

в) функция $y = x^{2n}$, $n \in N$, убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

г) функция $y = x^{2n}$, $n \in N$, убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0?

Для ответа на вопрос проанализируем поведение функции $y = x^{2n}$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$).

Показатель степени $2n$ при любом натуральном $n$ является положительным четным числом (2, 4, 6 и т.д.). Такие степенные функции являются четными, то есть $y(-x) = (-x)^{2n} = x^{2n} = y(x)$, и их график симметричен относительно оси ординат.

Для определения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную:

$y'(x) = (x^{2n})' = 2n \cdot x^{2n-1}$

Знак производной определяет характер монотонности функции. Так как $n \in \mathbb{N}$, множитель $2n$ всегда положителен. Следовательно, знак производной $y'(x)$ зависит только от знака множителя $x^{2n-1}$.

Показатель степени $2n-1$ является нечетным числом (1, 3, 5 и т.д.). Поэтому знак выражения $x^{2n-1}$ совпадает со знаком $x$.

• Если $x > 0$, то $x^{2n-1} > 0$, и следовательно, $y'(x) > 0$. Это означает, что функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Если $x < 0$, то $x^{2n-1} < 0$, и следовательно, $y'(x) < 0$. Это означает, что функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

Итак, мы установили, что функция $y = x^{2n}$ убывает при $x \le 0$ и возрастает при $x \ge 0$. Теперь рассмотрим предложенные утверждения.

а) функция $y = x^{2n}, n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$;
Это утверждение полностью соответствует нашему анализу. Функция возрастает для неотрицательных значений $x$ и убывает для неположительных значений $x$.
Ответ: Утверждение верно.

б) функция $y = x^{2n}, n \in \mathbb{N}$, возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$;
Это утверждение неверно, так как при $x \le 0$ функция убывает, а не возрастает.
Ответ: Утверждение неверно.

в) функция $y = x^{2n}, n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$;
Это утверждение неверно, так как при $x \ge 0$ функция возрастает, а не убывает.
Ответ: Утверждение неверно.

г) функция $y = x^{2n}, n \in \mathbb{N}$, убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$?
Это утверждение неверно. В нем перепутаны промежутки возрастания и убывания. Функция возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$.
Ответ: Утверждение неверно.

10. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, возрастает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$;

б) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, возрастает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$;

в) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, убывает при $x > 0$ и убывает при $x < 0$;

г) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, убывает при $x > 0$ и возрастает при $x < 0$?

Для того чтобы определить верное утверждение, необходимо проанализировать свойства функции $y = x^{2n+1}$ при условии, что $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел).

Показатель степени в данной функции равен $k = 2n+1$. Поскольку $n$ — натуральное число ($n=1, 2, 3, \ldots$), выражение $2n$ всегда является четным натуральным числом. Следовательно, выражение $k = 2n+1$ всегда будет нечетным натуральным числом, большим или равным 3.

Степенная функция вида $y = x^k$ с нечетным натуральным показателем $k$ является возрастающей на всей своей области определения, то есть на множестве всех действительных чисел $(-\infty, +\infty)$. Это означает, что для любых $x_1 < x_2$ выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$. Таким образом, функция возрастает как на промежутке $x > 0$, так и на промежутке $x < 0$.

Этот вывод можно подтвердить с помощью производной. Найдем производную функции $y(x) = x^{2n+1}$:

$y'(x) = (2n+1)x^{2n}$

Проанализируем знак производной:

• Коэффициент $(2n+1)$ является положительным числом, так как $n \in \mathbb{N}$.
• Выражение $x^{2n}$ имеет четный показатель степени $2n$, поэтому $x^{2n} \ge 0$ для всех действительных $x$. Равенство нулю достигается только при $x=0$.

Следовательно, производная $y'(x) \ge 0$ для всех $x$, причем $y'(x)=0$ только в одной точке. Это является достаточным условием для того, чтобы функция была строго возрастающей на всей числовой оси.

Теперь оценим каждое утверждение на основе этого вывода:

а) Утверждение неверно. Функция возрастает при $x < 0$, а не убывает.
Ответ: неверно.

б) Утверждение верно. Как было показано, функция возрастает на всей числовой оси, что включает в себя промежутки $x > 0$ и $x < 0$.
Ответ: верно.

в) Утверждение неверно. Функция возрастает при $x > 0$ и при $x < 0$, а не убывает.
Ответ: неверно.

г) Утверждение неверно. Функция возрастает при $x > 0$, а не убывает.
Ответ: неверно.

19.1 Укажите общий ряд данных следующих измерений:

а) веса (в кг) взрослого человека;

б) длины слова (количество букв в слове) русского языка;

в) числа страниц в ежедневной газете;

г) текущих отметок в школьном дневнике.

а) Общий ряд данных для веса (в кг) взрослого человека представляет собой множество положительных действительных (вещественных) чисел. Вес является непрерывной величиной, то есть может принимать любые значения в определенном диапазоне, включая дробные (например, 65,7 кг). Практический диапазон значений для веса взрослого человека достаточно широк, но в большинстве случаев он находится в интервале примерно от 40 кг до 200 кг, хотя может выходить за эти пределы.
Ответ: Множество положительных действительных чисел, обычно в диапазоне от 40 до 200.

б) Общий ряд данных для длины слова (количества букв) в русском языке представляет собой множество натуральных чисел. Длина слова — это дискретная величина, так как она может быть только целым положительным числом. Самые короткие слова в русском языке состоят из одной буквы (например, союзы «и», «а»; предлоги «в», «к»). Самые длинные слова, особенно специальные термины, могут содержать несколько десятков букв. Таким образом, ряд данных — это конечное множество натуральных чисел, начинающееся с 1.
Ответ: Множество натуральных чисел, начиная с 1. Например, $\{1, 2, 3, \ldots, N\}$, где $N$ — количество букв в самом длинном известном слове.

в) Общий ряд данных для числа страниц в ежедневной газете представляет собой множество натуральных чисел. Это дискретная величина. В связи с технологией печати, где листы бумаги складываются, число страниц почти всегда является четным, а чаще всего — кратным четырем. Типичное количество страниц может варьироваться, например, от 8-12 в будние дни до 64 и более в объемных выпусках.
Ответ: Множество натуральных чисел, как правило, кратных 4 (например, 4, 8, 12, 16, ...).

г) Общий ряд данных для текущих отметок в школьном дневнике, при условии использования традиционной для России 5-балльной системы, представляет собой конечное множество целых чисел. Возможные оценки: 5 («отлично»), 4 («хорошо»), 3 («удовлетворительно»), 2 («неудовлетворительно»). Оценка 1 («кол») также формально существует, но на практике ставится крайне редко.
Ответ: Конечное множество целых чисел $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ или, что более распространено на практике, $\{2, 3, 4, 5\}$.

19.2 Укажите общий ряд данных следующих измерений:

а) результатов прыжков в высоту (с точностью до 5 см) среди мальчиков 9-го класса;

б) площади (в $м^{2}$) кухни в городской квартире;

в) высоты потолков (в дм) в городской квартире;

г) суммы отметок в выпускном школьном аттестате по русскому языку, литературе и математике.

а) Общий ряд данных для результатов прыжков в высоту среди мальчиков 9-го класса представляет собой набор числовых значений. Так как измерения проводятся с точностью до 5 см, то все значения в этом ряду будут целыми числами, кратными 5. Учитывая возраст и физические возможности мальчиков 9-го класса (14-15 лет), можно предположить, что реальные результаты будут находиться в определенном диапазоне. Минимальный результат, вероятно, будет не ниже 90-100 см, а максимальный для очень спортивного ученика может достигать 180-190 см. Таким образом, общий ряд данных — это множество целых чисел, кратных 5, например, из диапазона от 90 до 200.
Примерный ряд данных: {..., 90, 95, 100, 105, 110, ..., 180, 185, 190, ...}.

Ответ: Множество целых чисел (в сантиметрах), кратных 5, находящихся в реалистичном диапазоне для прыжков в высоту мальчиков 9-го класса (например, от 90 до 200).

б) Площадь кухни в городской квартире является непрерывной величиной, то есть теоретически она может принимать любое положительное действительное значение. Однако на практике площадь измеряется и указывается с определенной точностью, как правило, до одного или двух знаков после запятой. Типичные значения площади кухни в городских квартирах варьируются от очень маленьких (около 4-5 м² в студиях или старых домах) до довольно больших (15-25 м² и более в новостройках или объединенных кухнях-гостиных). Следовательно, общий ряд данных — это множество положительных действительных чисел в определенном интервале.

Ответ: Множество положительных действительных чисел (в м²), обычно находящихся в диапазоне примерно от 4 до 30.

в) Высота потолков в городской квартире, как и площадь, является непрерывной величиной. Измеряется она в дециметрах (дм), где 1 дм = 10 см. Высота потолков в квартирах обычно стандартизирована и колеблется в относительно узком диапазоне. Например, в панельных домах старой постройки высота может быть около 2,5 м (25 дм), в современных домах — 2,6-2,8 м (26-28 дм), а в домах сталинской постройки или элитном жилье — 3 м (30 дм) и выше. Таким образом, ряд данных будет представлять собой множество положительных чисел в этом узком диапазоне. Измерения могут быть целыми числами или иметь один знак после запятой (например, 24,5 дм).

Ответ: Множество положительных действительных чисел (в дм), обычно находящихся в диапазоне примерно от 24 до 35.

г) В данном случае ряд данных состоит из сумм отметок по трем предметам: русскому языку, литературе и математике. В школьном аттестате о среднем общем образовании в России используются отметки «3» (удовлетворительно), «4» (хорошо) и «5» (отлично). Отметка «2» не ставится в аттестат, так как с ней ученик не заканчивает школу. Таким образом, каждая из трех отметок может быть одним из чисел из множества {3, 4, 5}.
Мы ищем все возможные значения суммы $S = G_1 + G_2 + G_3$, где $G_1, G_2, G_3 \in \{3, 4, 5\}$.
Минимальная возможная сумма: $3 + 3 + 3 = 9$.
Максимальная возможная сумма: $5 + 5 + 5 = 15$.
Проверим, достижимы ли все целые значения между 9 и 15:
$10 = 3 + 3 + 4$
$11 = 3 + 4 + 4$
$12 = 4 + 4 + 4$
$13 = 4 + 4 + 5$
$14 = 4 + 5 + 5$
Все целочисленные значения от 9 до 15 включительно являются возможными суммами. Это дискретный и конечный набор данных.

Ответ: Множество целых чисел $\{9, 10, 11, 12, 13, 14, 15\}$.

19.3 Продавец записывал вес каждого проданного арбуза (с точностью до 0,5 кг). У него получились такие данные:

8 5 6,5 7 9,5 10 11 8,5 8 6 7 8 9 10,5 11

6 7 8,5 9 10 8 12 11 10,5 7 7 6,5 10 8 9

5 8 11 10,5 8 8,5 7 8 10 9 6 8 7 10 11

8 12 7 8 10 7 6 9 11 8 8 6 10 12 8

а) Сколько арбузов он продал?

б) Каков общий ряд данных измерения веса арбуза?

в) Укажите наименьшую и наибольшую варианты этого измерения.

г) Какова кратность варианты 5, варианты 8, варианты 12?

д) Приведите пример числа из общего ряда данных, которое не является вариантой этого измерения.

а) Сколько арбузов он продал?

Чтобы определить, сколько арбузов продал продавец, необходимо посчитать общее количество записанных им данных. Данные представлены в виде четырех строк, в каждой из которых по 15 чисел. Следовательно, общее количество проданных арбузов равно произведению количества строк на количество чисел в строке.

$4 \times 15 = 60$

Ответ: Продавец продал $60$ арбузов.

б) Каков общий ряд данных измерения веса арбуза?

Общий ряд данных — это полный перечень всех 60 измерений веса, записанных продавцом в том порядке, в котором они представлены в условии задачи.

Ответ: Общий ряд данных состоит из 60 чисел, приведенных в условии: $8, 5, 6,5, 7, 9,5, 10, 11, 8,5, 8, 6, 7, 8, 9, 10,5, 11, 6, 7, 8,5, 9, 10, 8, 12, 11, 10,5, 7, 7, 6,5, 10, 8, 9, 5, 8, 11, 10,5, 8, 8,5, 7, 8, 10, 9, 6, 8, 7, 10, 11, 8, 12, 7, 8, 10, 7, 6, 9, 11, 8, 8, 6, 10, 12, 8$.

в) Укажите наименьшую и наибольшую варианты этого измерения.

Для нахождения наименьшей и наибольшей варианты необходимо просмотреть весь ряд данных и найти минимальное и максимальное значения.

Просмотрев все числа, мы видим, что наименьшее значение в ряду — это $5$.

Наибольшее значение в ряду — это $12$.

Ответ: Наименьшая варианта — $5$ кг, наибольшая варианта — $12$ кг.

г) Какова кратность варианты 5, варианты 8, варианты 12?

Кратность (или частота) варианты — это количество раз, которое данное значение встречается в ряду данных. Посчитаем кратность для указанных вариант.

• Варианта $5$: встречается 2 раза.
• Варианта $8$: встречается 14 раз.
• Варианта $12$: встречается 3 раза.

Ответ: Кратность варианты $5$ равна $2$, кратность варианты $8$ равна $14$, кратность варианты $12$ равна $3$.

д) Приведите пример числа из общего ряда данных, которое не является вариантой этого измерения.

Данный вопрос сформулирован некорректно. Вариантой называется любое значение, которое встречается в ряду данных. Таким образом, любое число "из общего ряда данных" по определению является вариантой. Вероятно, имелся в виду вопрос: "Приведите пример числа, которое не является вариантой этого измерения". Таким числом может быть любое значение, отсутствующее в списке, но находящееся в пределах измерений (например, между $5$ и $12$ кг) и соответствующее точности $0,5$ кг.

Например, число $7,5$ кг не встречается в представленном ряду данных.

Ответ: $7,5$ (в предположении, что вопрос содержал опечатку).