Страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Семенов

18.1 Найдите количество всех:

а) двузначных чисел;

б) двузначных чисел, состоящих из разных цифр;

в) двузначных чисел, сумма цифр которых больше 16;

г) двузначных чисел, произведение цифр которых меньше 2.

а) двузначных чисел;
Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. На месте цифры десятков может быть любая цифра от 1 до 9 (всего 9 вариантов), так как число не может начинаться с 0. На месте цифры единиц может быть любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов). По правилу произведения в комбинаторике, общее количество двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой цифры: $9 \times 10 = 90$. Альтернативный способ — посчитать количество целых чисел на отрезке [10; 99]: $99 - 10 + 1 = 90$.
Ответ: 90

б) двузначных чисел, состоящих из разных цифр;
В таких числах цифра десятков и цифра единиц не должны совпадать. Цифру десятков можно выбрать 9 способами (любая цифра от 1 до 9). После выбора цифры десятков, для выбора цифры единиц остается 9 вариантов, так как она может быть любой из 10 цифр (от 0 до 9), кроме той, что уже занята на месте десятков. Таким образом, по правилу произведения, общее количество таких чисел равно: $9 \times 9 = 81$.
Ответ: 81

в) двузначных чисел, сумма цифр которых больше 16;
Пусть двузначное число представлено цифрами $x$ (десятки) и $y$ (единицы). По условию, $x \in \{1, 2, ..., 9\}$, $y \in \{0, 1, ..., 9\}$ и должно выполняться неравенство $x + y > 16$. Максимально возможная сумма цифр двузначного числа — это $9 + 9 = 18$. Следовательно, искомая сумма может быть равна 17 или 18. Переберём возможные комбинации цифр:
Случай 1: Сумма цифр равна 17 ($x + y = 17$).
- Если $x = 9$, то $y = 17 - 9 = 8$. Получаем число 98.
- Если $x = 8$, то $y = 17 - 8 = 9$. Получаем число 89.
- Если $x \le 7$, то $y \ge 10$, что невозможно, так как $y$ — это цифра.
Случай 2: Сумма цифр равна 18 ($x + y = 18$).
- Если $x = 9$, то $y = 18 - 9 = 9$. Получаем число 99.
- Если $x \le 8$, то $y \ge 10$, что также невозможно.
Таким образом, условию удовлетворяют всего 3 числа: 89, 98 и 99.
Ответ: 3

г) двузначных чисел, произведение цифр которых меньше 2.
Пусть двузначное число представлено цифрами $x$ (десятки) и $y$ (единицы). По условию, $x \in \{1, ..., 9\}$, $y \in \{0, ..., 9\}$ и должно выполняться неравенство $x \cdot y < 2$. Это неравенство выполняется, если произведение цифр равно 0 или 1.
Случай 1: Произведение цифр равно 0 ($x \cdot y = 0$).
Так как $x$ (цифра десятков) не может быть равен 0, то равенство выполняется только при $y = 0$. Цифра десятков $x$ может быть любой от 1 до 9. Это даёт 9 чисел: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
Случай 2: Произведение цифр равно 1 ($x \cdot y = 1$).
Так как $x$ и $y$ — целые числа (цифры), это возможно только если $x=1$ и $y=1$. Это даёт число 11.
Суммируя количество чисел из обоих случаев, получаем $9 + 1 = 10$.
Ответ: 10

18.2 Из цифр 4, 6, 7 составляют различные трёхзначные числа без повторяющихся цифр.

а) Найдите наибольшее число.

б) Найдите наименьшее число, у которого вторая цифра равна 7.

в) Сколько чисел, оканчивающихся цифрой 7, можно составить?

г) Сколько всего чисел можно составить?

а) Чтобы составить наибольшее трёхзначное число из цифр 4, 6, 7 без их повторения, нужно расположить цифры в порядке убывания. Самая большая цифра (7) должна стоять в разряде сотен, следующая по величине (6) – в разряде десятков, а самая маленькая (4) – в разряде единиц. Таким образом, получаем число 764.

Ответ: 764.

б) Нужно найти наименьшее число, у которого вторая цифра равна 7. Структура числа выглядит как _7_. Для первой и третьей позиций остались цифры 4 и 6. Чтобы число было наименьшим, в старший разряд (сотни) нужно поставить наименьшую из оставшихся цифр. Наименьшая из {4, 6} – это 4. Тогда для разряда единиц остаётся цифра 6. Получаем число 476.

Ответ: 476.

в) Нужно найти количество чисел, оканчивающихся цифрой 7. Это числа вида _ _7. Последняя цифра зафиксирована. На первые два места нужно расставить оставшиеся две цифры {4, 6} в любом порядке.
На место сотен можно поставить любую из двух цифр (4 или 6) – это 2 варианта.
После выбора цифры для сотен, на место десятков остаётся только одна цифра – 1 вариант.
Общее количество таких чисел равно произведению вариантов: $2 \times 1 = 2$.
Это числа 467 и 647.

Ответ: 2.

г) Чтобы найти общее количество различных трёхзначных чисел, которые можно составить из трёх различных цифр, нужно вычислить количество перестановок из 3 элементов.
На первую позицию (сотни) можно выбрать любую из трёх цифр {4, 6, 7} – 3 варианта.
На вторую позицию (десятки) можно выбрать любую из двух оставшихся цифр – 2 варианта.
На третью позицию (единицы) остаётся одна последняя цифра – 1 вариант.
Общее количество чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции: $3 \times 2 \times 1 = 3! = 6$.

Ответ: 6.

18.3 Из цифр 0, 1, 4, 8, 9 составляют двузначное число (повторения цифр допускаются).

а) Найдите наибольшее число.

б) Найдите наименьшее число, которое кратно 9.

в) Сколько чётных чисел можно составить?

г) Перечислите все числа, которые кратны 8.

а) Чтобы составить наибольшее двузначное число из заданных цифр {0, 1, 4, 8, 9}, нужно выбрать наибольшую возможную цифру для разряда десятков и для разряда единиц. Наибольшая цифра в наборе — это 9. Так как повторения цифр допускаются, мы можем использовать цифру 9 и для десятков, и для единиц.

Наибольшее число: 99.

Ответ: 99.

б) Число кратно 9, если сумма его цифр кратна 9. Нам нужно найти наименьшее такое двузначное число. Двузначное число не может начинаться с 0, поэтому для первой цифры (разряда десятков) возможны варианты {1, 4, 8, 9}. Для второй цифры (разряда единиц) возможны все цифры {0, 1, 4, 8, 9}.

Чтобы число было наименьшим, нужно выбрать наименьшую возможную первую цифру. Начнём с 1.

Пусть первая цифра равна 1. Тогда для того, чтобы сумма цифр была кратна 9, вторая цифра должна быть 8, так как $1 + 8 = 9$. Получаем число 18. Это наименьшее возможное число, начинающееся на 1, которое кратно 9.

Если бы мы взяли следующую по величине первую цифру, 4, то вторая цифра должна была бы быть 5 ($4+5=9$), но цифры 5 в наборе нет. Следующая сумма, кратная 9, это 18, но $4+x=18$ дает $x=14$, что не является цифрой.

Таким образом, 18 — наименьшее двузначное число из данных цифр, кратное 9.

Ответ: 18.

в) Чётное число должно оканчиваться на чётную цифру. В нашем наборе {0, 1, 4, 8, 9} чётными являются цифры {0, 4, 8}. Таким образом, для разряда единиц есть 3 варианта выбора.

Первая цифра двузначного числа (разряд десятков) не может быть 0. Следовательно, для неё возможны варианты {1, 4, 8, 9}. Таким образом, для разряда десятков есть 4 варианта выбора.

Так как выбор первой и второй цифр независим (повторения разрешены), общее количество чётных двузначных чисел равно произведению количества вариантов для каждого разряда: $4 \text{ (варианта для десятков)} \times 3 \text{ (варианта для единиц)} = 12$.

Ответ: 12.

г) Чтобы найти все числа, кратные 8, нужно перебрать возможные комбинации цифр. Первая цифра может быть 1, 4, 8 или 9. Вторая — 0, 1, 4, 8 или 9.

• Числа, начинающиеся на 1: 10, 11, 14, 18, 19. Ни одно из них не делится на 8.
• Числа, начинающиеся на 4: 40, 41, 44, 48, 49. Из них на 8 делятся 40 ($40 = 8 \times 5$) и 48 ($48 = 8 \times 6$).
• Числа, начинающиеся на 8: 80, 81, 84, 88, 89. Из них на 8 делятся 80 ($80 = 8 \times 10$) и 88 ($88 = 8 \times 11$).
• Числа, начинающиеся на 9: 90, 91, 94, 98, 99. Ни одно из них не делится на 8.

Таким образом, все двузначные числа из данных цифр, которые кратны 8, это 40, 48, 80, 88.

Ответ: 40, 48, 80, 88.