Номер 18.1, страница 120, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.1 Найдите количество всех:

а) двузначных чисел;

б) двузначных чисел, состоящих из разных цифр;

в) двузначных чисел, сумма цифр которых больше 16;

г) двузначных чисел, произведение цифр которых меньше 2.

а) двузначных чисел;
Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц. На месте цифры десятков может быть любая цифра от 1 до 9 (всего 9 вариантов), так как число не может начинаться с 0. На месте цифры единиц может быть любая цифра от 0 до 9 (всего 10 вариантов). По правилу произведения в комбинаторике, общее количество двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой цифры: $9 \times 10 = 90$. Альтернативный способ — посчитать количество целых чисел на отрезке [10; 99]: $99 - 10 + 1 = 90$.
Ответ: 90

б) двузначных чисел, состоящих из разных цифр;
В таких числах цифра десятков и цифра единиц не должны совпадать. Цифру десятков можно выбрать 9 способами (любая цифра от 1 до 9). После выбора цифры десятков, для выбора цифры единиц остается 9 вариантов, так как она может быть любой из 10 цифр (от 0 до 9), кроме той, что уже занята на месте десятков. Таким образом, по правилу произведения, общее количество таких чисел равно: $9 \times 9 = 81$.
Ответ: 81

в) двузначных чисел, сумма цифр которых больше 16;
Пусть двузначное число представлено цифрами $x$ (десятки) и $y$ (единицы). По условию, $x \in \{1, 2, ..., 9\}$, $y \in \{0, 1, ..., 9\}$ и должно выполняться неравенство $x + y > 16$. Максимально возможная сумма цифр двузначного числа — это $9 + 9 = 18$. Следовательно, искомая сумма может быть равна 17 или 18. Переберём возможные комбинации цифр:
Случай 1: Сумма цифр равна 17 ($x + y = 17$).
- Если $x = 9$, то $y = 17 - 9 = 8$. Получаем число 98.
- Если $x = 8$, то $y = 17 - 8 = 9$. Получаем число 89.
- Если $x \le 7$, то $y \ge 10$, что невозможно, так как $y$ — это цифра.
Случай 2: Сумма цифр равна 18 ($x + y = 18$).
- Если $x = 9$, то $y = 18 - 9 = 9$. Получаем число 99.
- Если $x \le 8$, то $y \ge 10$, что также невозможно.
Таким образом, условию удовлетворяют всего 3 числа: 89, 98 и 99.
Ответ: 3

г) двузначных чисел, произведение цифр которых меньше 2.
Пусть двузначное число представлено цифрами $x$ (десятки) и $y$ (единицы). По условию, $x \in \{1, ..., 9\}$, $y \in \{0, ..., 9\}$ и должно выполняться неравенство $x \cdot y < 2$. Это неравенство выполняется, если произведение цифр равно 0 или 1.
Случай 1: Произведение цифр равно 0 ($x \cdot y = 0$).
Так как $x$ (цифра десятков) не может быть равен 0, то равенство выполняется только при $y = 0$. Цифра десятков $x$ может быть любой от 1 до 9. Это даёт 9 чисел: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90.
Случай 2: Произведение цифр равно 1 ($x \cdot y = 1$).
Так как $x$ и $y$ — целые числа (цифры), это возможно только если $x=1$ и $y=1$. Это даёт число 11.
Суммируя количество чисел из обоих случаев, получаем $9 + 1 = 10$.
Ответ: 10