Номер 18.7, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.7 Несколько стран решили использовать для своего государственного флага прямоугольник, разделённый на четыре вертикальные полосы одинаковой ширины разных цветов: белого, синего, красного, зелёного. У каждой страны — свой флаг. Сколько всего стран:

а) могут использовать такие флаги;

б) могут использовать флаги с первой белой полосой;

в) могут использовать флаги с третьей не зелёной полосой;

г) могут использовать флаги с синей и с красной полосами, расположенными подряд?

В данной задаче мы имеем дело с размещениями без повторений, так как флаг состоит из четырех полос разных цветов. Всего дано 4 цвета: белый, синий, красный, зелёный. Порядок цветов в полосах важен, поэтому для решения будем использовать формулы комбинаторики, в частности, перестановки.

а) могут использовать такие флаги;

Чтобы найти общее количество возможных флагов, нужно определить, сколькими способами можно расположить 4 разных цвета на 4 позициях. Это классическая задача на перестановки.

Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В нашем случае $n=4$, так как у нас 4 цвета и 4 полосы. Следовательно, общее количество уникальных флагов равно:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Ответ: 24

б) могут использовать флаги с первой белой полосой;

Если первая полоса имеет фиксированный белый цвет, то нам необходимо распределить оставшиеся 3 цвета (синий, красный, зелёный) по оставшимся 3 полосам (второй, третьей и четвертой).

Количество способов это сделать равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ответ: 6

в) могут использовать флаги с третьей не зеленой полосой;

Для решения этой задачи удобнее использовать метод от противного. Сначала найдём общее количество флагов (из пункта а) это 24), а затем вычтем из него количество "неправильных" флагов, то есть тех, у которых третья полоса зелёная.

Количество флагов с зелёной третьей полосой находится аналогично пункту б). Если третья полоса фиксирована (зелёная), то нам нужно расположить оставшиеся 3 цвета на 3 свободных местах. Количество таких способов равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Теперь, чтобы найти количество флагов, где третья полоса не зелёная, вычтем из общего числа флагов число флагов с зелёной третьей полосой:

$24 - 6 = 18$.

Ответ: 18

г) могут использовать флаги с синей и с красной полосами, расположенными подряд?

Для решения этой задачи объединим синюю и красную полосы в один блок. Этот блок можно рассматривать как единый элемент. Внутри этого блока цвета могут располагаться двумя способами: "синий, красный" или "красный, синий" ($2! = 2$ варианта).

Теперь нам нужно расположить 3 элемента: наш блок (синий-красный), белую полосу и зелёную полосу. Количество способов расположить эти 3 элемента равно числу перестановок из 3 элементов:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Так как для каждого из 6 расположений блока существуют 2 варианта порядка цветов внутри него, то общее количество флагов находится произведением этих двух величин:

Общее количество = (Число расположений блока) $\times$ (Число перестановок внутри блока) = $3! \times 2! = 6 \times 2 = 12$.

Ответ: 12