Номер 18.10, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.10 Известно, что $x = 2^a 3^b 5^c$ и $a, b, c$ — числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$ (совпадения допускаются).

a) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа $x$.

б) Сколько всего таких чисел можно составить?

в) Сколько среди них будет чётных чисел?

г) Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулём?

а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа x.

Число $x$ задано формулой $x = 2^a 3^b 5^c$, где показатели степеней $a, b, c$ могут принимать значения из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.

Для нахождения наименьшего значения $x$ необходимо взять наименьшие возможные значения для показателей степеней, так как основания 2, 3 и 5 больше единицы. Наименьшие значения для $a, b$ и $c$ равны 0.

$x_{наим} = 2^0 \cdot 3^0 \cdot 5^0 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Для нахождения наибольшего значения $x$ необходимо взять наибольшие возможные значения для показателей степеней. Наибольшие значения для $a, b$ и $c$ равны 3.

$x_{наиб} = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 27 \cdot 125 = 216 \cdot 125 = 27000$.

Ответ: наименьшее значение $x=1$, наибольшее значение $x=27000$.

б) Сколько всего таких чисел можно составить?

Каждое число $x$ однозначно определяется набором показателей $(a, b, c)$. Поскольку 2, 3 и 5 — простые числа, разным наборам показателей соответствуют разные числа $x$ (согласно основной теореме арифметики).

Показатель $a$ можно выбрать 4 способами (из множества $\{0, 1, 2, 3\}$).
Показатель $b$ можно выбрать 4 способами (из того же множества).
Показатель $c$ можно выбрать 4 способами.

Поскольку выборы независимы, общее количество возможных чисел $x$ равно произведению числа вариантов для каждого показателя (комбинаторное правило умножения):

$N = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64$.

Ответ: 64.

в) Сколько среди них будет чётных чисел?

Число является чётным, если оно делится на 2. В разложении на простые множители $x = 2^a 3^b 5^c$ это означает, что показатель степени у двойки должен быть не меньше 1.

Таким образом, для показателя $a$ возможны значения из множества $\{1, 2, 3\}$, то есть 3 варианта.

Для показателей $b$ и $c$ ограничения отсутствуют, поэтому для каждого из них по-прежнему 4 варианта выбора из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.

Общее количество чётных чисел равно:

$N_{чётн} = 3 \cdot 4 \cdot 4 = 48$.

Ответ: 48.

г) Сколько среди них будет чисел, оканчивающихся нулём?

Число оканчивается нулём, если оно делится на 10. Так как $10 = 2 \cdot 5$, для делимости на 10 необходимо, чтобы в разложении числа на простые множители присутствовали и 2, и 5.

Это означает, что показатель степени у двойки ($a$) и показатель степени у пятёрки ($c$) должны быть не меньше 1.

Возможные значения для $a$: $\{1, 2, 3\}$ (3 варианта).
Возможные значения для $c$: $\{1, 2, 3\}$ (3 варианта).
Для показателя $b$ ограничений нет, поэтому для него возможно 4 варианта: $\{0, 1, 2, 3\}$.

Общее количество таких чисел равно:

$N_{..0} = 3 \cdot 4 \cdot 3 = 36$.

Ответ: 36.