Номер 18.16, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.16 К хозяину дома пришли гости $A, B, C, D$. За круглым столом — пять разных стульев.

а) Сколько существует способов рассаживания?

б) Сколько существует способов рассаживания, если место хозяина дома уже известно?

в) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя $C$ следует посадить рядом с гостем $A$?

г) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя $A$ не следует сажать рядом с гостем $D$?

а) Сколько существует способов рассаживания?

Всего 5 человек (хозяин и 4 гостя: A, B, C, D), которых нужно рассадить на 5 разных стульев. Поскольку стулья разные, каждая рассадка является уникальной перестановкой. Задача сводится к нахождению числа перестановок 5 различных объектов.
Количество способов рассадить $n$ человек на $n$ разных мест равно числу перестановок $n$ элементов, которое вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В данном случае $n=5$.
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Таким образом, существует 120 способов рассаживания.

Ответ: 120

б) Сколько существует способов рассаживания, если место хозяина дома уже известно?

Если место хозяина за столом зафиксировано, то нам остается рассадить 4 гостей (A, B, C, D) на оставшиеся 4 свободных стула.
Это задача о перестановках 4 различных объектов.
Количество способов равно $P_4 = 4!$.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Следовательно, существует 24 способа рассаживания при известном месте хозяина.

Ответ: 24

в) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя C следует посадить рядом с гостем A?

Чтобы гости A и C сидели рядом, будем рассматривать их как единый блок (AC). Этот блок нужно разместить за столом вместе с остальными 3 людьми (хозяином, гостями B и D).
1. Сначала определим количество способов размещения блока (AC) за столом. Так как стол круглый, а стулья разные, существует 5 пар соседних стульев (стул 1 со стулом 2, 2 с 3, 3 с 4, 4 с 5 и 5 с 1). Таким образом, есть 5 вариантов выбора пары стульев для блока.
2. Внутри самого блока гостей A и C можно поменять местами (A слева от C, или C слева от A). Это дает $2! = 2$ варианта их взаимного расположения.
3. После того как A и C сели, остаются 3 человека (хозяин, B, D) и 3 свободных стула. Их можно рассадить $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способами.
Общее количество способов найдем, перемножив количество вариантов на каждом шаге:
$N = 5 \times 2! \times 3! = 5 \times 2 \times 6 = 60$.
Значит, существует 60 способов рассадить гостей так, чтобы A и C сидели рядом.

Ответ: 60

г) Сколько существует способов рассаживания, если известно, что гостя А не следует сажать рядом с гостем D?

Эту задачу можно решить, используя метод от противного (комплементарный подсчет). Найдем общее число всех возможных рассаживаний и вычтем из него число тех рассаживаний, где A и D сидят рядом.
1. Общее количество способов рассаживания 5 человек на 5 стульях, как мы нашли в пункте (а), равно $5! = 120$.
2. Теперь найдем количество способов, при которых A и D сидят рядом. Этот расчет аналогичен пункту (в). Рассматриваем пару (AD) как единый блок.
- Количество способов выбрать пару соседних стульев: 5.
- Количество способов рассадить A и D внутри этой пары: $2! = 2$.
- Количество способов рассадить оставшихся 3 человек (хозяин, B, C) на оставшиеся 3 стула: $3! = 6$.
Число "запрещенных" рассаживаний (где A и D сидят рядом) равно: $5 \times 2 \times 6 = 60$.
3. Вычитаем из общего числа способов число "запрещенных":
$N = 120 - 60 = 60$.
Существует 60 способов рассадить гостей так, чтобы A и D не сидели рядом.

Ответ: 60