Номер 18.20, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.20 Учительница подготовила к контрольной работе четыре задачи на решение линейных неравенств, пять текстовых задач (две на движение и три на работу) и шесть задач на решение квадратных уравнений (в двух задачах дискриминант отрицателен). В контрольной должно быть по одной задаче на каждую из трёх указанных тем. Найдите общее число:

а) всех возможных вариантов контрольной;

б) тех возможных вариантов, в которых встретится задача на движение;

в) тех возможных вариантов, в которых у квадратного уравнения будет хотя бы один корень;

г) тех возможных вариантов, в которых не встретятся одновременно задача на работу и квадратное уравнение, не имеющее корней.

Для решения задачи проанализируем исходные данные. Учительница подготовила задачи по трем темам, из которых будет составляться контрольная работа. Контрольная должна содержать по одной задаче из каждой темы.

Состав задач по темам:

• Тема 1: Решение линейных неравенств. Имеется 4 уникальные задачи.
• Тема 2: Текстовые задачи. Имеется всего 5 задач, которые делятся на два подтипа:
  • 2 задачи на движение.
  • 3 задачи на работу.
• Тема 3: Решение квадратных уравнений. Имеется всего 6 задач, которые делятся на два подтипа в зависимости от дискриминанта ($D$):
  • 2 задачи, где $D < 0$ (уравнение не имеет действительных корней).
  • $6 - 2 = 4$ задачи, где $D \ge 0$ (уравнение имеет хотя бы один действительный корень).

Для нахождения общего числа вариантов будем использовать основное правило комбинаторики — правило произведения.

а) всех возможных вариантов контрольной;

Чтобы составить один вариант контрольной, необходимо последовательно выбрать по одной задаче из каждой из трех тем.

• Количество способов выбрать задачу по теме 1 (линейные неравенства) — 4.
• Количество способов выбрать задачу по теме 2 (текстовые задачи) — 5.
• Количество способов выбрать задачу по теме 3 (квадратные уравнения) — 6.

Общее число всех возможных вариантов контрольной работы равно произведению числа способов выбора задачи по каждой теме: $N_{общ} = 4 \times 5 \times 6 = 120$.

Ответ: 120.

б) тех возможных вариантов, в которых встретится задача на движение;

В этом случае выбор для второй темы (текстовые задачи) ограничен. Вместо любой из 5 текстовых задач нам нужно выбрать одну из 2 задач на движение. Выбор по остальным темам остается неизменным.

• Количество способов выбрать задачу по теме 1 — 4.
• Количество способов выбрать задачу на движение (из темы 2) — 2.
• Количество способов выбрать задачу по теме 3 — 6.

Общее число таких вариантов: $N_{движение} = 4 \times 2 \times 6 = 48$.

Ответ: 48.

в) тех возможных вариантов, в которых у квадратного уравнения будет хотя бы один корень;

Здесь ограничение накладывается на выбор задачи из третьей темы. Квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, если его дискриминант неотрицателен ($D \ge 0$). Как мы определили ранее, таких задач 4. Выбор по остальным темам остается прежним.

• Количество способов выбрать задачу по теме 1 — 4.
• Количество способов выбрать задачу по теме 2 — 5.
• Количество способов выбрать задачу по теме 3 (с хотя бы одним корнем) — 4.

Общее число таких вариантов: $N_{\ge 1 корень} = 4 \times 5 \times 4 = 80$.

Ответ: 80.

г) тех возможных вариантов, в которых не встретятся одновременно задача на работу и квадратное уравнение, не имеющее корней.

Эту задачу удобнее всего решить методом исключения. Сначала найдем общее число всех возможных вариантов (мы уже сделали это в пункте а), а затем вычтем из него число "нежелательных" вариантов. "Нежелательным" вариантом является тот, в котором одновременно присутствует задача на работу и задача на квадратное уравнение, не имеющее корней.

Найдем число таких "нежелательных" вариантов. Для этого нужно выбрать:

• Задачу по теме 1 (линейные неравенства): 4 способа.
• Задачу на работу (из темы 2): 3 способа.
• Квадратное уравнение без корней (из темы 3): 2 способа.

Число "нежелательных" вариантов равно произведению этих способов: $N_{нежел} = 4 \times 3 \times 2 = 24$.

Теперь, чтобы найти искомое число вариантов, вычтем число "нежелательных" вариантов из общего числа всех вариантов: $N_{иском} = N_{общ} - N_{нежел} = 120 - 24 = 96$.

Для проверки можно использовать и прямой подсчет. Вариант нас устраивает, если:
1) Выбрана задача на движение (тогда не выбрана задача на работу, и условие выполняется). Таких вариантов: $4 \times 2 \times 6 = 48$.
2) Выбрана задача на работу, но при этом выбрано квадратное уравнение, имеющее корни. Таких вариантов: $4 \times 3 \times 4 = 48$.
Суммируя эти два непересекающихся случая, получаем общее число искомых вариантов: $48 + 48 = 96$.

Ответ: 96.