Номер 18.24, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.24 В волейбольной команде шесть человек, а на площадке шесть позиций (номеров) для их расстановки.

а) Сколькими способами команду можно расставить по позициям?

б) Сколько есть способов расстановок, при которых капитан находится на подаче?

в) Сколько есть способов расстановок, при которых капитан находится не на подаче?

г) Сколько есть способов расстановок, при которых капитан находится или на подаче, или на месте разыгрывающего?

а) Сколькими способами команду можно расставить по позициям?
В команде 6 человек и 6 позиций на площадке. Необходимо найти количество всех возможных расстановок 6 игроков по 6 позициям. Это задача на нахождение числа перестановок из 6 элементов. Число перестановок из $n$ элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$.
В данном случае $n=6$.
$P_6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720$.
Ответ: 720.

б) Сколько есть способов расстановки, при которых капитан находится на подаче?
Если позиция капитана зафиксирована (он находится на подаче), то нам остается расставить оставшихся 5 игроков на оставшиеся 5 позиций. Количество таких способов равно числу перестановок из 5 элементов.
$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.
Ответ: 120.

в) Сколько есть способов расстановки, при которых капитан находится не на подаче?
Чтобы найти количество способов, при которых капитан не находится на подаче, нужно из общего числа всех возможных расстановок (найденного в пункте а) вычесть число расстановок, при которых капитан находится на подаче (найденное в пункте б).
$N = P_6 - P_5 = 720 - 120 = 600$.
Ответ: 600.

г) Сколько есть способов расстановки, при которых капитан находится или на подаче, или на месте разыгрывающего?
Данная задача рассматривает два несовместных события: "капитан на подаче" и "капитан на месте разыгрывающего". По правилу суммы, общее количество способов равно сумме способов для каждого из этих событий.
1. Количество способов, при которых капитан на подаче, равно $5! = 120$ (из пункта б).
2. Аналогично, если капитан находится на месте разыгрывающего, его позиция зафиксирована, а остальных 5 игроков можно расставить на 5 оставшихся мест $5!$ способами. То есть, $5! = 120$ способов.
Общее число способов: $120 + 120 = 240$.
Ответ: 240.