Номер 18.18, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.18 На дне портфеля лежат неразличимые на ощупь карандаши: два простых и три цветных. Их вынимают по одному. Цветной оставляют на столе, а простой отправляют обратно на дно портфеля. Такая операция повторяется трижды.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.

б) В скольких случаях все вынутые карандаши будут простыми?

в) В скольких случаях все вынутые карандаши будут цветными?

г) В скольких случаях среди вынутых карандашей цветных будет больше, чем простых?

Для решения задачи обозначим простой карандаш буквой П, а цветной — буквой Ц. Изначально в портфеле 2 простых и 3 цветных карандаша (2П, 3Ц).

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.

Дерево вариантов показывает все возможные последовательности извлечения карандашей и изменение их количества в портфеле на каждом шаге. В скобках указано текущее количество карандашей (Простых, Цветных).

• Начальное состояние: (2П, 3Ц)
  • 1-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Состояние: (2П, 3Ц)
    • 2-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Состояние: (2П, 3Ц)
      • 3-й шаг: Вытянули П (2 способа). Итоговая последовательность: ППП.
      • 3-й шаг: Вытянули Ц (3 способа). Карандаш не возвращается. Итоговая последовательность: ППЦ.
    • 2-й шаг: Вытянули Ц (3 способа). Карандаш не возвращается. Состояние: (2П, 2Ц)
      • 3-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Итоговая последовательность: ПЦП.
      • 3-й шаг: Вытянули Ц (2 способа). Карандаш не возвращается. Итоговая последовательность: ПЦЦ.
  • 1-й шаг: Вытянули Ц (3 способа). Карандаш не возвращается. Состояние: (2П, 2Ц)
    • 2-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Состояние: (2П, 2Ц)
      • 3-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Итоговая последовательность: ЦПП.
      • 3-й шаг: Вытянули Ц (2 способа). Карандаш не возвращается. Итоговая последовательность: ЦПЦ.
    • 2-й шаг: Вытянули Ц (2 способа). Карандаш не возвращается. Состояние: (2П, 1Ц)
      • 3-й шаг: Вытянули П (2 способа). Карандаш возвращается. Итоговая последовательность: ЦЦП.
      • 3-й шаг: Вытянули Ц (1 способ). Карандаш не возвращается. Итоговая последовательность: ЦЦЦ.

б) В скольких случаях все вынутые карандаши будут простыми?

Этот исход соответствует последовательности ППП (простой, простой, простой).
На первом шаге есть 2 способа вытянуть простой карандаш. Он возвращается, и в портфеле снова 2 простых и 3 цветных карандаша.
На втором шаге снова есть 2 способа вытянуть простой карандаш.
На третьем шаге также 2 способа вытянуть простой карандаш.
Общее количество случаев — это произведение числа способов на каждом шаге: $2 \times 2 \times 2 = 8$.
Ответ: 8.

в) В скольких случаях все вынутые карандаши будут цветными?

Этот исход соответствует последовательности ЦЦЦ (цветной, цветной, цветной).
На первом шаге есть 3 способа вытянуть цветной карандаш. Он не возвращается, и в портфеле остается 2 простых и 2 цветных карандаша.
На втором шаге есть 2 способа вытянуть цветной карандаш. В портфеле остается 2 простых и 1 цветной.
На третьем шаге остается 1 способ вытянуть последний цветной карандаш.
Общее количество случаев: $3 \times 2 \times 1 = 6$.
Ответ: 6.

г) В скольких случаях среди вынутых карандашей цветных будет больше, чем простых?

Цветных карандашей будет больше, чем простых, если из трех вынутых карандашей будет либо 3 цветных и 0 простых, либо 2 цветных и 1 простой.
1. Случай, когда все 3 карандаша цветные (ЦЦЦ). Количество таких случаев было найдено в пункте в) и равно 6.
2. Случай, когда 2 карандаша цветные и 1 простой. Возможны три последовательности: ПЦЦ, ЦПЦ, ЦЦП. Рассчитаем количество случаев для каждой:
- Последовательность ПЦЦ: вытянули простой (2 способа, в портфеле 2П, 3Ц), затем цветной (3 способа, в портфеле 2П, 2Ц), затем еще один цветной (2 способа). Всего случаев: $2 \times 3 \times 2 = 12$.
- Последовательность ЦПЦ: вытянули цветной (3 способа, в портфеле 2П, 2Ц), затем простой (2 способа, в портфеле 2П, 2Ц), затем цветной (2 способа). Всего случаев: $3 \times 2 \times 2 = 12$.
- Последовательность ЦЦП: вытянули цветной (3 способа, в портфеле 2П, 2Ц), затем еще один цветной (2 способа, в портфеле 2П, 1Ц), затем простой (2 способа). Всего случаев: $3 \times 2 \times 2 = 12$.
Теперь сложим все полученные случаи:
(случаи для ЦЦЦ) + (случаи для ПЦЦ) + (случаи для ЦПЦ) + (случаи для ЦЦП) $= 6 + 12 + 12 + 12 = 42$.
Ответ: 42.