Номер 18.17, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.17 Из цифр 0, 2, 8, 9 составляют различные трёхзначные числа (повторения цифр допускаются).

а) Найдите наименьшее число.

б) Укажите все числа, которые меньше 250.

в) Укажите все нечётные числа, которые больше 900.

г) Укажите все числа, которые кратны 40.

а) Найдите наименьшее число.
Чтобы составить наименьшее трёхзначное число из цифр {0, 2, 8, 9}, нужно выбрать наименьшие возможные цифры для каждого разряда, начиная со старшего (сотни).
1. Разряд сотен: Первой цифрой трёхзначного числа не может быть 0. Наименьшая из оставшихся цифр {2, 8, 9} — это 2.
2. Разряд десятков: Так как повторения цифр допускаются, для второго разряда мы можем выбрать любую из данных цифр. Чтобы число было наименьшим, выбираем наименьшую возможную цифру — 0.
3. Разряд единиц: Аналогично, для третьего разряда выбираем наименьшую возможную цифру — 0.
Таким образом, наименьшее трёхзначное число, которое можно составить, — это 200.
Ответ: 200.

б) Укажите все числа, которые меньше 250.
Мы ищем трёхзначные числа из цифр {0, 2, 8, 9}, которые удовлетворяют условию $x < 250$.
1. Разряд сотен: Первая цифра не может быть 0. Чтобы число было меньше 250, первая цифра может быть только 2. Если бы она была 8 или 9, число было бы больше 250. Итак, первая цифра — 2.
2. Разряд десятков: Теперь рассмотрим вторую цифру. Число имеет вид $\overline{2bc}$. Чтобы число было меньше 250, вторая цифра (b) не может быть 8 или 9 (т.к. $280 > 250$ и $290 > 250$). Значит, вторая цифра может быть 0 или 2.
- Если вторая цифра 0, число имеет вид $\overline{20c}$. Третья цифра (c) может быть любой из {0, 2, 8, 9}. Получаем числа: 200, 202, 208, 209. Все они меньше 250.
- Если вторая цифра 2, число имеет вид $\overline{22c}$. Третья цифра (c) может быть любой из {0, 2, 8, 9}. Получаем числа: 220, 222, 228, 229. Все они меньше 250.
Объединяя все найденные числа, получаем полный список.
Ответ: 200, 202, 208, 209, 220, 222, 228, 229.

в) Укажите все нечётные числа, которые больше 900.
Мы ищем трёхзначные числа из цифр {0, 2, 8, 9}, которые являются нечётными и больше 900.
1. Условие "больше 900": Чтобы число было больше 900, его первая цифра (разряд сотен) должна быть 9.
2. Условие "нечётное": Чтобы число было нечётным, его последняя цифра (разряд единиц) должна быть нечётной. Из данных цифр {0, 2, 8, 9} нечётной является только 9.
3. Разряд десятков: Вторая цифра может быть любой из данных, так как на выполнение условий она не влияет. Возможные цифры для разряда десятков: {0, 2, 8, 9}.
Составляем числа, подставляя возможные цифры в разряд десятков: 909, 929, 989, 999.
Ответ: 909, 929, 989, 999.

г) Укажите все числа, которые кратны 40.
Число кратно 40, если оно одновременно кратно 10 и 4.
1. Кратность 10: Число должно оканчиваться на 0. Значит, последняя цифра (разряд единиц) равна 0. Число имеет вид $\overline{ab0}$.
2. Кратность 4: Число кратно 4, если число, образованное двумя его последними цифрами, кратно 4. В нашем случае это число $\overline{b0}$. Проверим возможные значения для b из {0, 2, 8, 9}:
- Если b=0, то 00. $00 : 4 = 0$. Подходит.
- Если b=2, то 20. $20 : 4 = 5$. Подходит.
- Если b=8, то 80. $80 : 4 = 20$. Подходит.
- Если b=9, то 90. $90 : 4 = 22.5$. Не подходит.
Значит, вторая цифра (b) может быть 0, 2 или 8.
3. Разряд сотен (a): Первая цифра не может быть 0, значит, она может быть 2, 8 или 9.
Теперь скомбинируем возможные цифры для a и b:
- Если b=0, то числа $\overline{a00}$: 200 ($200:40=5$), 800 ($800:40=20$), 900 ($900:40=22.5$ - не подходит).
- Если b=2, то числа $\overline{a20}$: 220 ($220:40=5.5$ - не подходит), 820 ($820:40=20.5$ - не подходит), 920 ($920:40=23$).
- Если b=8, то числа $\overline{a80}$: 280 ($280:40=7$), 880 ($880:40=22$), 980 ($980:40=24.5$ - не подходит).
Собираем все подошедшие числа.
Ответ: 200, 280, 800, 880, 920.