Номер 18.12, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.12 a)

$\frac{10!}{5!};$

б) $\frac{11!}{5! \cdot 6!};$

в) $\frac{51!}{49!};$

г) $\frac{14!}{7! \cdot 3! \cdot 4!}.$

a)

Чтобы вычислить значение выражения $\frac{10!}{5!}$, воспользуемся определением факториала: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$. Представим числитель $10!$ как $10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!$.

$\frac{10!}{5!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!}$

Сократив $5!$ в числителе и знаменателе, получим произведение:

$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 90 \cdot 8 \cdot 42 = 720 \cdot 42 = 30240$.

Ответ: $30240$.

б)

Для вычисления выражения $\frac{11!}{5! \cdot 6!}$ представим $11!$ как $11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!$, чтобы сократить его с наибольшим факториалом в знаменателе.

$\frac{11!}{5! \cdot 6!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{5! \cdot 6!} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5!}$

Теперь раскроем $5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$ и выполним сокращения:

$\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 11 \cdot \frac{10}{5 \cdot 2} \cdot \frac{9}{3} \cdot \frac{8}{4} \cdot 7 = 11 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 = 462$.

Ответ: $462$.

в)

Для вычисления $\frac{51!}{49!}$ представим $51!$ как $51 \cdot 50 \cdot 49!$.

$\frac{51!}{49!} = \frac{51 \cdot 50 \cdot 49!}{49!}$

Сократив $49!$, получим:

$51 \cdot 50 = 2550$.

Ответ: $2550$.

г)

Чтобы вычислить $\frac{14!}{7! \cdot 3! \cdot 4!}$, представим $14!$ в виде произведения, включающего $7!$ для сокращения с наибольшим факториалом в знаменателе.

$\frac{14!}{7! \cdot 3! \cdot 4!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{7! \cdot 3! \cdot 4!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{3! \cdot 4!}$

Раскроем оставшиеся факториалы в знаменателе: $3! = 6$ и $4! = 24$.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{6 \cdot 24}$

Теперь выполним сокращения. Сократим $12$ на $6$, получим $2$. Сократим $24$ на $8$, получим $3$ в знаменателе.

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9}{3}$

Сократим $9$ на $3$, получим $3$.

$14 \cdot 13 \cdot 2 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 3 = 182 \cdot 22 \cdot 30 = 182 \cdot 660 = 120120$.

Ответ: $120120$.