Номер 18.9, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.9 На координатной плоскости отмечены все точки, абсциссы и ординаты которых равны одному из следующих чисел: $-3, -1, 1, 2, 7$ (повторения допускаются).

а) Сколько всего таких точек?

б) Сколько точек лежит левее оси ординат?

в) Сколько точек лежит выше оси абсцисс?

г) Сколько точек лежит в круге радиусом $5$ с центром в начале координат?

а) В задаче дано множество чисел, из которых могут состоять абсциссы и ординаты точек: $\{-3, -1, 1, 2, 7\}$. Всего в этом множестве 5 чисел. Абсцисса точки (координата $x$) может быть выбрана 5 способами. Ордината точки (координата $y$) также может быть выбрана 5 способами. Поскольку выбор абсциссы и ординаты является независимым, общее количество возможных точек находится как произведение числа вариантов для каждой координаты. Таким образом, общее количество точек равно $5 \times 5 = 25$.
Ответ: 25.

б) Точка лежит левее оси ординат (оси $y$), если её абсцисса (координата $x$) является отрицательным числом. Из данного множества $\{-3, -1, 1, 2, 7\}$ отрицательными являются два числа: $-3$ и $-1$. Таким образом, для абсциссы есть 2 варианта. Ордината (координата $y$) может быть любым из 5 чисел в множестве. Следовательно, количество точек, лежащих левее оси ординат, равно произведению числа вариантов для абсциссы и ординаты: $2 \times 5 = 10$.
Ответ: 10.

в) Точка лежит выше оси абсцисс (оси $x$), если её ордината (координата $y$) является положительным числом. Из данного множества $\{-3, -1, 1, 2, 7\}$ положительными являются три числа: $1, 2$ и $7$. Таким образом, для ординаты есть 3 варианта. Абсцисса (координата $x$) может быть любым из 5 чисел в множестве. Следовательно, количество точек, лежащих выше оси абсцисс, равно $5 \times 3 = 15$.
Ответ: 15.

г) Точка с координатами $(x, y)$ лежит в круге радиусом $R=5$ с центром в начале координат, если выполняется условие $x^2 + y^2 \le R^2$, то есть $x^2 + y^2 \le 25$. Рассмотрим квадраты чисел из заданного множества: $(-3)^2=9$, $(-1)^2=1$, $1^2=1$, $2^2=4$, $7^2=49$. Если в координатах точки присутствует число 7 (или -7, но его нет в списке), то квадрат этой координаты будет равен 49. Тогда сумма $x^2 + y^2$ будет не меньше 49, что нарушает условие $x^2 + y^2 \le 25$. Значит, ни абсцисса, ни ордината искомых точек не могут быть равны 7. Мы должны выбирать координаты только из подмножества $\{-3, -1, 1, 2\}$. В этом подмножестве 4 числа. Давайте проверим, все ли комбинации из этого подмножества подходят. Максимальное значение квадрата координаты из этого подмножества равно $(-3)^2=9$. Максимально возможная сумма квадратов будет $9+9=18$ (для точки $(-3, -3)$). Поскольку $18 \le 25$, любая точка, обе координаты которой выбраны из множества $\{-3, -1, 1, 2\}$, будет лежать в заданном круге. Количество вариантов для абсциссы $x$ равно 4, и количество вариантов для ординаты $y$ также равно 4. Общее число таких точек равно $4 \times 4 = 16$.
Ответ: 16.