Номер 18.8, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.8 В книжке-раскраске нарисованы непересекающиеся треугольник, квадрат и круг. Каждую фигуру надо раскрасить в один из цветов радуги, разные фигуры — в разные цвета.

а) Сколько существует способов раскрашивания?

б) Сколько среди них способов, при которых круг оранжевый?

в) Сколько среди них способов, при которых треугольник не красный?

г) Сколько существует способов раскрашивания в холодные цвета?

Для решения задачи воспользуемся основами комбинаторики. У нас есть 3 различные фигуры (треугольник, квадрат, круг) и 7 цветов радуги (красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий, фиолетовый). По условию, каждую фигуру нужно раскрасить в один из цветов, причем цвета не должны повторяться.

а) Сколько существует способов раскрашивания?

Нам нужно выбрать 3 разных цвета из 7 и присвоить их 3 разным фигурам. Порядок выбора важен, так как от него зависит, какая фигура какой цвет получит (например, красный треугольник и синий квадрат — это не то же самое, что синий треугольник и красный квадрат). Такие комбинации называются размещениями.
Для первой фигуры есть 7 вариантов цвета.
Для второй фигуры останется $7-1=6$ вариантов цвета.
Для третьей фигуры останется $6-1=5$ вариантов цвета.
Общее число способов находится перемножением вариантов для каждой фигуры:
$N = 7 \times 6 \times 5 = 210$.
Это число размещений из 7 по 3, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$. В нашем случае:
$A_7^3 = \frac{7!}{(7-3)!} = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210$.
Ответ: 210.

б) Сколько среди них способов, при которых круг оранжевый?

В этом случае цвет одной фигуры (круга) уже определен — он оранжевый. У нас остаётся 2 фигуры (треугольник и квадрат) и $7-1=6$ свободных цветов (все, кроме оранжевого).
Для первой из оставшихся фигур (например, треугольника) есть 6 вариантов выбора цвета.
Для последней фигуры (квадрата) остается $6-1=5$ вариантов.
Общее число таких способов:
$N = 1 \times 6 \times 5 = 30$.
Это число размещений из 6 по 2: $A_6^2 = 6 \times 5 = 30$.
Ответ: 30.

в) Сколько среди них способов, при которых треугольник не красный?

Можно решить задачу, вычислив общее число способов и вычтя из него те, в которых треугольник красный (метод от противного).
Общее число способов, как мы нашли в пункте а), равно 210.
Теперь найдем число способов, при которых треугольник красный. Это аналогично задаче из пункта б): цвет одной фигуры фиксирован. Остается 2 фигуры и 6 цветов. Число таких способов равно $A_6^2 = 6 \times 5 = 30$.
Следовательно, число способов, при которых треугольник не красный, равно разности:
$N = 210 - 30 = 180$.
Другой способ — прямой подсчет: для треугольника есть $7-1=6$ вариантов цвета (все, кроме красного). Для второй фигуры остается 6 вариантов (один цвет занят треугольником), для третьей — 5. Итого: $6 \times 6 \times 5 = 180$.
Ответ: 180.

г) Сколько существует способов раскрашивания в холодные цвета?

К холодным цветам радуги относятся 3 цвета: голубой, синий и фиолетовый.
Нам нужно раскрасить 3 фигуры, используя только эти 3 цвета. Поскольку все фигуры должны быть разного цвета, мы должны использовать все 3 холодных цвета — по одному на каждую фигуру.
Задача сводится к нахождению числа способов, которыми можно распределить 3 цвета между 3 фигурами. Это число перестановок из 3 элементов.
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Ответ: 6.