Номер 18.13, страница 122, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.13 Делится ли $11!$ на:

а) 64;

б) 25;

в) 81;

г) 49?

Чтобы определить, делится ли факториал числа $11$ ($11!$) на заданные числа, необходимо проанализировать их разложения на простые множители. Число $A$ делится на число $B$, если все простые множители числа $B$ содержатся в разложении числа $A$ в степени, не меньшей, чем в разложении $B$.

Представим $11!$ как произведение: $11! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11$.

а) 64;

Разложим число $64$ на простые множители: $64 = 2^6$.

Теперь нужно определить, в какой степени простой множитель $2$ входит в разложение $11!$. Для этого найдем все сомножители в $11!$, которые делятся на $2$: это $2, 4, 6, 8, 10$.

Разложим их на множители: $2 = 2^1$ $4 = 2^2$ $6 = 2 \cdot 3$ $8 = 2^3$ $10 = 2 \cdot 5$

Суммарная степень двойки в разложении $11!$ равна $1+2+1+3+1=8$. Таким образом, $11!$ содержит множитель $2^8$.

Поскольку степень двойки в разложении $11!$ (равная $8$) больше степени двойки в разложении $64$ (равная $6$), то $11!$ делится на $64$.

Ответ: да

б) 25;

Разложим число $25$ на простые множители: $25 = 5^2$.

Чтобы $11!$ делилось на $25$, в его разложении на простые множители должно быть как минимум две пятерки. Посчитаем, сколько раз множитель $5$ встречается в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 11$.

Множитель $5$ содержат числа $5$ и $10$: $5 = 5^1$ (одна пятерка). $10 = 2 \cdot 5^1$ (одна пятерка).

Общее количество пятерок в разложении $11!$ равно $1+1=2$. Следовательно, в разложение $11!$ входит множитель $5^2$.

Так как степень пятерки в разложении $11!$ совпадает со степенью в разложении $25$ (обе равны $2$), $11!$ делится на $25$.

Ответ: да

в) 81;

Разложим число $81$ на простые множители: $81 = 3^4$.

Чтобы $11!$ делилось на $81$, в его разложении на простые множители должно быть как минимум четыре тройки. Посчитаем, сколько раз множитель $3$ встречается в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 11$.

Множитель $3$ содержат числа $3, 6, 9$: $3 = 3^1$ (одна тройка). $6 = 2 \cdot 3^1$ (одна тройка). $9 = 3^2$ (две тройки).

Общее количество троек в разложении $11!$ равно $1+1+2=4$. Следовательно, в разложение $11!$ входит множитель $3^4$.

Так как степень тройки в разложении $11!$ совпадает со степенью в разложении $81$ (обе равны $4$), $11!$ делится на $81$.

Ответ: да

г) 49?

Разложим число $49$ на простые множители: $49 = 7^2$.

Чтобы $11!$ делилось на $49$, в его разложении на простые множители должно быть как минимум две семерки. Посчитаем, сколько раз множитель $7$ встречается в произведении $1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot 11$.

Среди чисел от 1 до 11 на $7$ делится только само число $7$. Следующее число, кратное $7$, это $14$, которое не входит в $11!$. Таким образом, в разложении $11!$ на простые множители число $7$ встречается только один раз ($7^1$).

Поскольку степень семерки в разложении $11!$ (равная $1$) меньше, чем в разложении $49$ (равная $2$), то $11!$ не делится на $49$.

Ответ: нет