Номер 18.15, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.15 Решите в натуральных числах уравнение:

а) $n! = 7(n - 1)!;$

б) $(m + 17)! = 420(m + 15)!;$

в) $(k - 10)! = 77(k - 11)!;$

г) $(3x)! = 504(3x - 3)!.$

а) $n! = 7(n - 1)!$

По определению факториала $n! = n \cdot (n - 1)!$. Уравнение можно переписать в виде:

$n \cdot (n - 1)! = 7(n - 1)!$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n \ge 1$. Следовательно, $(n-1)!$ определен и не равен нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $(n-1)!$:

$n = 7$

Число 7 является натуральным, поэтому это решение нам подходит.

Ответ: $n=7$

б) $(m + 17)! = 420(m + 15)!$

Используем свойство факториала: $(m + 17)! = (m + 17) \cdot (m + 16) \cdot (m + 15)!$. Подставим это в исходное уравнение:

$(m + 17)(m + 16)(m + 15)! = 420(m + 15)!$

Так как $m$ — натуральное число, $m \ge 1$, то $(m+15)!$ определен и не равен нулю. Разделим обе части на $(m+15)!$:

$(m + 17)(m + 16) = 420$

Мы ищем два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 420. Оценим корень из 420: $\sqrt{420} \approx \sqrt{400} = 20$. Попробуем числа, близкие к 20. Проверим $20 \cdot 21$:

$20 \cdot 21 = 420$

Значит, $m+16 = 20$ и $m+17 = 21$. Из любого из этих равенств находим $m$:

$m + 16 = 20 \Rightarrow m = 4$

$m + 17 = 21 \Rightarrow m = 4$

Число 4 является натуральным.

Ответ: $m=4$

в) $(k - 10)! = 77(k - 11)!$

Для того чтобы факториалы были определены, аргументы должны быть неотрицательными целыми числами. Так как $k$ - натуральное число, нам нужно, чтобы $k-11 \ge 0$, то есть $k \ge 11$.

Используем свойство факториала: $(k - 10)! = (k - 10) \cdot (k - 11)!$.

$(k - 10)(k - 11)! = 77(k - 11)!$

При условии $k \ge 11$, $(k-11)!$ не равен нулю, поэтому можно разделить обе части на него:

$k - 10 = 77$

$k = 87$

Найденное значение $k=87$ удовлетворяет условию $k \ge 11$ и является натуральным числом.

Ответ: $k=87$

г) $(3x)! = 504(3x - 3)!$

Переменная $x$ — натуральное число, значит $x \ge 1$. Убедимся, что аргументы факториалов неотрицательны: $3x \ge 3$ и $3x-3 \ge 0$. Оба условия выполняются при $x \ge 1$.

Применим свойство факториала несколько раз: $(3x)! = (3x) \cdot (3x - 1) \cdot (3x - 2) \cdot (3x - 3)!$.

$(3x)(3x - 1)(3x - 2)(3x - 3)! = 504(3x - 3)!$

Так как $(3x - 3)!$ не равно нулю, делим обе части уравнения на него:

$(3x)(3x - 1)(3x - 2) = 504$

Мы получили произведение трех последовательных целых чисел, равное 504. Оценим корень кубический из 504: $\sqrt[3]{504}$. Мы знаем, что $7^3 = 343$ и $8^3 = 512$. Значит, числа близки к 8. Проверим произведение чисел 7, 8, 9:

$7 \cdot 8 \cdot 9 = 56 \cdot 9 = 504$

Следовательно, три последовательных числа это 9, 8 и 7. Самое большое из них $3x$.

$3x = 9$

$x = 3$

Число 3 является натуральным, поэтому это и есть решение.

Ответ: $x=3$