Номер 18.21, страница 124, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.21 На контрольной будет пять задач по одной из пройденных пяти тем. По каждой теме учитель составил список из десяти задач. Известно, что на контрольной будут задачи именно из этих списков. По каждой теме ученик умеет решать восемь задач и не умеет решать две задачи. Найдите:

а) общее число всех вариантов контрольной;

б) число вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач;

в) число вариантов, в которых ученик не решит ни одной задачи;

г) число вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой.

а) общее число всех вариантов контрольной

Для составления варианта контрольной работы учитель должен выбрать по одной задаче из каждой из пяти тем. По каждой теме имеется список из 10 задач. Выбор задачи по одной теме не зависит от выбора задач по другим темам. Следовательно, мы можем применить правило произведения в комбинаторике.
Число способов выбрать задачу по теме 1: $10$.
Число способов выбрать задачу по теме 2: $10$.
Число способов выбрать задачу по теме 3: $10$.
Число способов выбрать задачу по теме 4: $10$.
Число способов выбрать задачу по теме 5: $10$.
Общее число вариантов контрольной равно произведению числа способов выбора для каждой задачи: $N_{общ} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5 = 100000$.
Ответ: $100000$.

б) число вариантов, в которых ученик умеет решать все пять задач

Для того чтобы ученик мог решить все пять задач, каждая из выбранных задач должна быть из числа тех, которые он умеет решать. По условию, в каждой теме из 10 задач ученик умеет решать 8.
Число способов выбрать "решаемую" задачу по теме 1: $8$.
Число способов выбрать "решаемую" задачу по теме 2: $8$.
...и так далее для всех пяти тем.
Общее число вариантов, в которых все задачи решаемы для ученика, равно: $N_{решает\_все} = 8 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 8^5 = 32768$.
Ответ: $32768$.

в) число вариантов, в которых ученик не решит ни одной задачи

Для того чтобы ученик не решил ни одной задачи, каждая из выбранных задач должна быть из числа тех, которые он решать не умеет. По условию, в каждой теме из 10 задач ученик не умеет решать 2.
Число способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 1: $2$.
Число способов выбрать "нерешаемую" задачу по теме 2: $2$.
...и так далее для всех пяти тем.
Общее число вариантов, в которых все задачи нерешаемы для ученика, равно: $N_{не\_решит\_ни\_одной} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^5 = 32$.
Ответ: $32$.

г) число вариантов, в которых ученик умеет решать все задачи, кроме первой

В этом случае первая задача в контрольной должна быть для ученика "нерешаемой", а остальные четыре — "решаемыми".
Число способов выбрать "нерешаемую" задачу для темы 1: $2$.
Число способов выбрать "решаемую" задачу для темы 2: $8$.
Число способов выбрать "решаемую" задачу для темы 3: $8$.
Число способов выбрать "решаемую" задачу для темы 4: $8$.
Число способов выбрать "решаемую" задачу для темы 5: $8$.
Общее число таких вариантов находим по правилу произведения: $N_{не\_решит\_первую} = 2 \times 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 2 \times 8^4 = 2 \times 4096 = 8192$.
Ответ: $8192$.