Номер 18.23, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.23 а) Точки $(0; 0)$, $(2; 0)$, $(3; 2)$ являются вершинами треугольника. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами $A, B, C$?

б) Точки $(0; 0)$, $(0; 4)$, $(3; 0)$, $(3; 7)$ являются вершинами трапеции. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами $K, L, M, N$?

в) Точки $(1; -3)$, $(0; 0)$, $(0; 4)$, $(3; 0)$, $(3; 7)$ являются вершинами выпуклого пятиугольника. Сколькими способами можно обозначить эти вершины буквами $P, R, S, T, Q$?

г) В скольких случаях в задании в) $PR$ будет одной из сторон?

а) У нас есть 3 различные вершины и 3 различные буквы (A, B, C) для их обозначения. Задача сводится к нахождению числа способов сопоставить каждой вершине уникальную букву. Это соответствует числу перестановок из 3 элементов. Число таких способов вычисляется как факториал числа элементов по формуле $P_n = n!$. В данном случае $n=3$.
$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.
Ответ: 6

б) Аналогично предыдущему пункту, у нас есть 4 различные вершины и 4 различные буквы (K, L, M, N). Необходимо найти количество способов сопоставить каждой вершине уникальную букву. Это задача на нахождение числа перестановок из 4 элементов.
$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
Ответ: 24

в) В этом случае у нас есть 5 различных вершин выпуклого пятиугольника и 5 различных букв (P, R, S, T, Q). Задача заключается в том, чтобы найти общее количество способов обозначить 5 вершин 5-ю буквами. Это число перестановок из 5 элементов.
$P_5 = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
Ответ: 120

г) Из 120 общих способов обозначения вершин, найденных в пункте в), нам нужно посчитать те, в которых отрезок PR будет одной из сторон пятиугольника. Это означает, что вершины, обозначенные буквами P и R, должны быть соседними.
Будем рассуждать следующим образом:
1. Сначала выберем сторону пятиугольника, которую будут образовывать вершины P и R. В пятиугольнике 5 сторон, значит, у нас есть 5 вариантов выбора.
2. Для выбранной стороны нужно обозначить её две вершины буквами P и R. Это можно сделать двумя способами: первая вершина P, вторая R, или наоборот, первая R, а вторая P. То есть $2$ способа.
3. Оставшиеся 3 буквы (S, T, Q) нужно присвоить оставшимся 3 вершинам. Число способов сделать это равно числу перестановок из 3 элементов: $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ способов.
Чтобы найти общее число случаев, когда PR является стороной, перемножим число вариантов на каждом этапе:
$N = 5 \times 2 \times 3! = 5 \times 2 \times 6 = 60$.
Ответ: 60