Номер 18.22, страница 125, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.22 Известно, что $x = 2^a 3^b 5^c$ и $a, b, c$ — различные числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.

а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа $x$.

б) Сколько всего таких чисел можно составить?

в) Сколько среди них будет нечётных чисел?

г) Сколько среди них будет чисел, кратных 12?

а) Найдите наименьшее и наибольшее значения числа x.

Число $x$ задается формулой $x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$, где $a, b, c$ — различные числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.

Чтобы найти наименьшее значение $x$, нужно использовать три наименьших возможных показателя степени, то есть $\{0, 1, 2\}$. Для минимизации произведения большему основанию должна соответствовать меньшая степень. Таким образом, самому большому основанию 5 мы сопоставляем наименьшую степень 0, основанию 3 — степень 1, и самому маленькому основанию 2 — наибольшую из выбранных степень 2.

Получаем $a=2$, $b=1$, $c=0$.

$x_{мин} = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^0 = 4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$.

Чтобы найти наибольшее значение $x$, нужно использовать три наибольших возможных показателя степени, то есть $\{1, 2, 3\}$. Для максимизации произведения большему основанию должна соответствовать большая степень. Таким образом, самому большому основанию 5 мы сопоставляем наибольшую степень 3, основанию 3 — степень 2, и самому маленькому основанию 2 — наименьшую из выбранных степень 1.

Получаем $a=1$, $b=2$, $c=3$.

$x_{макс} = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^3 = 2 \cdot 9 \cdot 125 = 18 \cdot 125 = 2250$.

Ответ: наименьшее значение 12, наибольшее значение 2250.

б) Сколько всего таких чисел можно составить?

Нам нужно выбрать 3 различных показателя степени из 4 возможных $(\{0, 1, 2, 3\})$ и расставить их по трем позициям $(a, b, c)$. Это является задачей на размещение без повторений.

Количество таких размещений из 4 элементов по 3 равно:

$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.

Согласно основной теореме арифметики, разложение числа на простые множители единственно. Поскольку основания 2, 3, 5 являются простыми числами, каждая уникальная упорядоченная тройка показателей $(a, b, c)$ даст уникальное число $x$. Следовательно, количество возможных чисел $x$ равно количеству возможных троек.

Ответ: 24.

в) Сколько среди них будет нечётных чисел?

Число является нечётным, если в его разложении на простые множители отсутствует множитель 2. В нашем случае, $x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$, это означает, что показатель степени при основании 2 должен быть равен нулю, то есть $a=0$.

Поскольку показатели $a, b, c$ должны быть различными, а $a=0$, то $b$ и $c$ должны быть различными числами, выбранными из оставшегося множества $\{1, 2, 3\}$.

Нам нужно выбрать 2 различных показателя для $b$ и $c$ из 3 возможных и расставить их. Количество способов это сделать равно числу размещений из 3 по 2:

$A_3^2 = \frac{3!}{(3-2)!} = \frac{3!}{1!} = 3 \cdot 2 = 6$.

Это соответствует тройкам $(a, b, c)$: $(0, 1, 2)$, $(0, 2, 1)$, $(0, 1, 3)$, $(0, 3, 1)$, $(0, 2, 3)$, $(0, 3, 2)$. Каждая из них дает нечетное число.

Ответ: 6.

г) Сколько среди них будет чисел, кратных 12?

Число $x$ кратно 12, если оно делится на 12. Разложение числа 12 на простые множители: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$.

Чтобы число $x = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ было кратно 12, необходимо и достаточно, чтобы в его разложение входили множители $2^2$ и $3^1$. Это накладывает следующие условия на показатели степеней: $a \ge 2$ и $b \ge 1$.

Поскольку $a, b, c$ — различные числа из множества $\{0, 1, 2, 3\}$, рассмотрим возможные комбинации.
Если $a=2$, то для $b$ (с учётом $b \ge 1$ и $b \ne a$) подходят значения $1$ и $3$. При паре $(a, b) = (2, 1)$ для $c$ остаются значения из множества $\{0, 3\}$ (2 варианта). При паре $(a, b) = (2, 3)$ для $c$ остаются значения из множества $\{0, 1\}$ (2 варианта).
Если $a=3$, то для $b$ (с учётом $b \ge 1$ и $b \ne a$) подходят значения $1$ и $2$. При паре $(a, b) = (3, 1)$ для $c$ остаются значения из множества $\{0, 2\}$ (2 варианта). При паре $(a, b) = (3, 2)$ для $c$ остаются значения из множества $\{0, 1\}$ (2 варианта).

Суммируя все варианты, получаем общее количество чисел, кратных 12: $2 + 2 + 2 + 2 = 8$.

Ответ: 8.