Номер 18.14, страница 123, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.14 Сократите дробь:

а) $\frac{n!}{(n - 1)!}$;

б) $\frac{(2k + 1)!}{(2k - 1)!}$;

в) $\frac{n!}{2! \cdot (n - 2)!}$;

г) $\frac{(4m - 1)!}{(4m - 3)!}$.

а)

Для сокращения дроби воспользуемся определением факториала: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (n-1) \cdot n$.

Можно заметить, что $n!$ можно представить как $n \cdot (n-1)!$.

Подставим это выражение в числитель дроби:

$\frac{n!}{(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{(n-1)!}$

Сократим одинаковые множители $(n-1)!$ в числителе и знаменателе:

$\frac{n \cdot \cancel{(n-1)!}}{\cancel{(n-1)!}} = n$

Ответ: $n$

б)

Используем тот же подход. Распишем факториал в числителе до тех пор, пока не появится факториал, стоящий в знаменателе.

$(2k+1)! = (2k+1) \cdot (2k) \cdot (2k-1)!$

Подставим это в исходную дробь:

$\frac{(2k+1)!}{(2k-1)!} = \frac{(2k+1) \cdot (2k) \cdot (2k-1)!}{(2k-1)!}$

Сократим дробь на $(2k-1)!$:

$\frac{(2k+1) \cdot (2k) \cdot \cancel{(2k-1)!}}{\cancel{(2k-1)!}} = (2k+1) \cdot (2k) = 2k(2k+1)$

Ответ: $2k(2k+1)$

в)

В этой задаче нужно сократить дробь $\frac{n!}{2! \cdot (n-2)!}$.

Сначала распишем факториал в числителе: $n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!$.

Также вычислим значение $2!$ в знаменателе: $2! = 1 \cdot 2 = 2$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{n!}{2! \cdot (n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot (n-2)!}$

Теперь сократим общий множитель $(n-2)!$:

$\frac{n \cdot (n-1) \cdot \cancel{(n-2)!}}{2 \cdot \cancel{(n-2)!}} = \frac{n(n-1)}{2}$

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$

г)

Рассмотрим дробь $\frac{(4m-1)!}{(4m-3)!}$.

Числитель $(4m-1)!$ можно представить через знаменатель $(4m-3)!$ следующим образом:

$(4m-1)! = (4m-1) \cdot (4m-2) \cdot (4m-3)!$

Подставим это выражение в дробь:

$\frac{(4m-1)!}{(4m-3)!} = \frac{(4m-1) \cdot (4m-2) \cdot (4m-3)!}{(4m-3)!}$

Сократим дробь на $(4m-3)!$:

$\frac{(4m-1) \cdot (4m-2) \cdot \cancel{(4m-3)!}}{\cancel{(4m-3)!}} = (4m-1)(4m-2)$

Ответ: $(4m-1)(4m-2)$