Номер 18.5, страница 121, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

18.5 В урне лежат девять неразличимых на ощупь шаров: пять белых и четыре чёрных. Вынимают одновременно два шара. Если они разного цвета, то их откладывают в сторону, а если одного цвета, то возвращают в урну. Такую операцию повторяют два раза.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.

б) В скольких случаях в урне останется девять шаров?

в) В скольких случаях в урне останется не более пяти шаров?

г) Нарисуйте дерево возможных вариантов, если указанную в условии операцию повторяют три раза.

а) Нарисуйте дерево возможных вариантов.

Обозначим состояние урны парой чисел (Б, Ч), где Б — количество белых шаров, а Ч — количество чёрных шаров. Начальное состояние: (5Б, 4Ч), всего в урне $5+4=9$ шаров.
В каждой операции есть два возможных исхода в зависимости от цвета вынутых шаров:
- ОЦ (одного цвета): вынуты 2 белых или 2 чёрных шара. Они возвращаются в урну, и состояние урны не меняется.
- РЦ (разного цвета): вынут 1 белый и 1 чёрный шар. Они откладываются в сторону, и количество шаров каждого цвета в урне уменьшается на 1.

Дерево вариантов для двух операций выглядит следующим образом:

• Начальное состояние: (5Б, 4Ч), всего 9 шаров.
  • 1-я операция (ОЦ): шары возвращены. Состояние не меняется → (5Б, 4Ч), 9 шаров.
    • 2-я операция (ОЦ): шары возвращены. Конечное состояние: (5Б, 4Ч), 9 шаров.
    • 2-я операция (РЦ): шары отложены. Конечное состояние: (4Б, 3Ч), 7 шаров.
  • 1-я операция (РЦ): шары отложены. Состояние меняется → (4Б, 3Ч), 7 шаров.
    • 2-я операция (ОЦ): шары возвращены. Конечное состояние: (4Б, 3Ч), 7 шаров.
    • 2-я операция (РЦ): шары отложены. Конечное состояние: (3Б, 2Ч), 5 шаров.

Ответ: Дерево вариантов представлено выше.

б) В скольких случаях в урне останется девять шаров?

Исходя из дерева вариантов, построенного в пункте (а), видно, что количество шаров в урне останется равным девяти только в одном случае. Это произойдет, если обе операции подряд привели к извлечению шаров одного цвета (путь ОЦ → ОЦ).
Начальное состояние (9 шаров) → 1-я операция (ОЦ) → Промежуточное состояние (9 шаров) → 2-я операция (ОЦ) → Конечное состояние (9 шаров).
Это единственный сценарий, при котором количество шаров не уменьшается.

Ответ: В 1 случае.

в) В скольких случаях в урне останется не более пяти шаров?

Условие "не более пяти шаров" означает, что итоговое количество шаров должно быть меньше или равно пяти ($ \le 5 $).
Рассмотрим конечные состояния в дереве вариантов: 9 шаров, 7 шаров, 7 шаров и 5 шаров.
Единственное состояние, удовлетворяющее условию, — это 5 шаров. Оно достигается только тогда, когда обе операции подряд приводят к извлечению шаров разного цвета (путь РЦ → РЦ).
Начальное состояние (9 шаров) → 1-я операция (РЦ) → Промежуточное состояние (7 шаров) → 2-я операция (РЦ) → Конечное состояние (5 шаров).
Это единственный такой сценарий.

Ответ: В 1 случае.

г) Нарисуйте дерево возможных вариантов, если указанную в условии операцию повторяют три раза.

Мы продолжим дерево, построенное в пункте (а), добавив третий уровень операций для каждого из возможных состояний после второго шага.

• Начальное состояние: (5Б, 4Ч), всего 9 шаров.
  • 1-я операция (ОЦ) → (5Б, 4Ч)
    • 2-я операция (ОЦ) → (5Б, 4Ч)
      • 3-я операция (ОЦ) → Конечное состояние: (5Б, 4Ч), 9 шаров.
      • 3-я операция (РЦ) → Конечное состояние: (4Б, 3Ч), 7 шаров.
    • 2-я операция (РЦ) → (4Б, 3Ч)
      • 3-я операция (ОЦ) → Конечное состояние: (4Б, 3Ч), 7 шаров.
      • 3-я операция (РЦ) → Конечное состояние: (3Б, 2Ч), 5 шаров.
  • 1-я операция (РЦ) → (4Б, 3Ч)
    • 2-я операция (ОЦ) → (4Б, 3Ч)
      • 3-я операция (ОЦ) → Конечное состояние: (4Б, 3Ч), 7 шаров.
      • 3-я операция (РЦ) → Конечное состояние: (3Б, 2Ч), 5 шаров.
    • 2-я операция (РЦ) → (3Б, 2Ч)
      • 3-я операция (ОЦ) → Конечное состояние: (3Б, 2Ч), 5 шаров.
      • 3-я операция (РЦ) → Конечное состояние: (2Б, 1Ч), 3 шара.

Ответ: Дерево вариантов для трех операций представлено выше.