Номер 9, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9 Четвёртый член геометрической прогрессии больше второго на 24, а сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Обозначим первый член геометрической прогрессии как $b_1$, а её знаменатель как $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Согласно условию, четвёртый член геометрической прогрессии больше второго на 24. Запишем это в виде уравнения:
$b_4 = b_2 + 24$
Используя формулу n-го члена, выразим $b_4$ и $b_2$ через $b_1$ и $q$:
$b_1 q^3 = b_1 q + 24$

Также, по условию, сумма второго и третьего членов прогрессии равна 6:
$b_2 + b_3 = 6$
Выразим $b_2$ и $b_3$ через $b_1$ и $q$:
$b_1 q + b_1 q^2 = 6$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Преобразуем оба уравнения, вынеся общие множители за скобки:
$\begin{cases}b_1 q(q^2 - 1) = 24 \\b_1 q(1 + q) = 6\end{cases}$

Разделим первое уравнение системы на второе. Заметим, что левая часть второго уравнения не может быть равна нулю, так как правая часть равна 6. Следовательно, $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$.
$\frac{b_1 q(q^2 - 1)}{b_1 q(1 + q)} = \frac{24}{6}$
$\frac{q^2 - 1}{q + 1} = 4$

Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и сократим дробь:
$\frac{(q - 1)(q + 1)}{q + 1} = 4$
$q - 1 = 4$
$q = 5$

Теперь, зная знаменатель прогрессии, найдём её первый член. Для этого подставим значение $q=5$ во второе уравнение системы $b_1 q(1 + q) = 6$:
$b_1 \cdot 5 \cdot (1 + 5) = 6$
$b_1 \cdot 5 \cdot 6 = 6$
$30 b_1 = 6$
$b_1 = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

Ответ: первый член прогрессии равен $\frac{1}{5}$, а знаменатель прогрессии равен 5.