Номер 10, страница 119, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10 Найдите трёхзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Если же из цифры десятков вычесть 2, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию.

Условие арифметической прогрессии:

$2B = A + C$

Условие вычитания 792:

$(100A + 10B + C) - 792 = 100C + 10B + A$

Условие геометрической прогрессии:

$(B-2)^2 = AC$

Пусть искомое трёхзначное число состоит из цифр a, b и c, где a — цифра сотен, b — цифра десятков, а c — цифра единиц. Тогда значение этого числа равно $100a + 10b + c$. Согласно условиям задачи, составим систему утверждений и переведем их в математические уравнения.

1. Цифры числа образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что последовательность цифр a, b, c является арифметической прогрессией. Основное свойство такой прогрессии заключается в том, что каждый её член (кроме первого) является средним арифметическим соседних с ним членов. Для наших цифр это означает: $b = \frac{a + c}{2}$, что эквивалентно $2b = a + c$. При этом a, b, c — это целые числа от 0 до 9, и так как число трёхзначное, $a \neq 0$.

2. Если из этого числа вычесть 792, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, это $100c + 10b + a$. Составим уравнение на основе этого условия: $(100a + 10b + c) - 792 = 100c + 10b + a$ Вычтем $10b$ из обеих частей уравнения: $100a + c - 792 = 100c + a$ Перенесём члены с переменными в левую часть, а число — в правую: $100a - a - 100c + c = 792$ $99a - 99c = 792$ Разделим обе части уравнения на 99: $a - c = 8$

3. Если из цифры десятков вычесть 2, а остальные цифры оставить без изменения, то получится число, цифры которого образуют геометрическую прогрессию. Новая последовательность цифр будет a, $(b-2)$, c. Основное свойство геометрической прогрессии: квадрат среднего члена равен произведению крайних членов. $(b - 2)^2 = a \cdot c$ Так как $(b-2)$ должно быть цифрой, то $0 \le b-2 \le 9$, из чего следует, что $2 \le b \le 9$.

Теперь у нас есть система из трёх уравнений для нахождения трёх неизвестных a, b и c: $ \begin{cases} 2b = a + c \\ a - c = 8 \\ (b-2)^2 = ac \end{cases} $

Начнём решение с уравнения $a - c = 8$, или $a = c + 8$. Поскольку a и c — цифры, причём $1 \le a \le 9$ и $0 \le c \le 9$, рассмотрим возможные значения для c:

• Если $c = 0$, то $a = 0 + 8 = 8$.
• Если $c = 1$, то $a = 1 + 8 = 9$.
• Если $c \ge 2$, то $a \ge 10$, что невозможно, так как a — это цифра.

Рассмотрим каждый из двух возможных случаев, используя первое уравнение $2b = a + c$ для нахождения b.

Случай 1: $a=8$, $c=0$. Подставим эти значения в первое уравнение: $2b = 8 + 0 \implies 2b = 8 \implies b = 4$. Получили цифры 8, 4, 0. Проверим их по третьему уравнению $(b-2)^2 = ac$: $(4-2)^2 = 8 \cdot 0$ $2^2 = 0$ $4 = 0$ Равенство неверное. Значит, этот набор цифр не является решением.

Случай 2: $a=9$, $c=1$. Подставим эти значения в первое уравнение: $2b = 9 + 1 \implies 2b = 10 \implies b = 5$. Получили цифры 9, 5, 1. Проверим их по третьему уравнению $(b-2)^2 = ac$: $(5-2)^2 = 9 \cdot 1$ $3^2 = 9$ $9 = 9$ Равенство верное. Значит, искомое число — 951.

Проведем финальную проверку для числа 951:

1. Цифры 9, 5, 1. Разность $5-9=-4$ и $1-5=-4$. Это арифметическая прогрессия. (Верно)
2. $951 - 792 = 159$. Число 159 — это число 951, записанное в обратном порядке. (Верно)
3. Из цифры десятков 5 вычитаем 2, получаем 3. Новые "цифры" 9, 3, 1. Проверяем, образуют ли они геометрическую прогрессию: $3^2 = 9$ и $9 \cdot 1 = 9$. Образуют. (Верно)

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 951.