Номер 1, страница 132, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Покажите схематически, как выглядит график функции

$y = x^{-2n}, n \in N$

1.

Рассмотрим функцию $y = x^{-2n}$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $n = 1, 2, 3, \ldots$).

Функцию можно переписать в виде дроби: $y = \frac{1}{x^{2n}}$.

Для того чтобы схематически построить график, проанализируем основные свойства этой функции.

• Область определения: Знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $x^{2n} \neq 0$, что выполняется при $x \neq 0$. Таким образом, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Четность: Проверим значение функции для аргумента $-x$: $y(-x) = \frac{1}{(-x)^{2n}} = \frac{1}{x^{2n}} = y(x)$, так как показатель степени $2n$ является четным числом для любого натурального $n$. Следовательно, функция является четной, а ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Область значений: Поскольку $x^{2n} > 0$ для любого $x \neq 0$ (возведение в четную степень дает положительный результат), то и значение функции $y = \frac{1}{x^{2n}}$ всегда будет строго больше нуля. Таким образом, область значений функции: $E(y) = (0; +\infty)$. Это означает, что весь график расположен в верхней полуплоскости (над осью OX).
• Асимптоты:
  • При $x \to 0$ (справа или слева), знаменатель $x^{2n} \to 0$ (оставаясь положительным), поэтому значение дроби $y \to +\infty$. Это означает, что прямая $x = 0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой.
  • При $x \to \pm\infty$, знаменатель $x^{2n} \to +\infty$, поэтому значение дроби $y \to 0$. Это означает, что прямая $y = 0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой.
• Контрольные точки:
  • При $x=1$, получаем $y = \frac{1}{1^{2n}} = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику.
  • При $x=-1$, получаем $y = \frac{1}{(-1)^{2n}} = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику.
  Это означает, что все графики функций вида $y = x^{-2n}$ проходят через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$.
• Влияние параметра n: С ростом натурального числа $n$ показатель степени $2n$ увеличивается.
  • Если $|x| > 1$ (например, $x=2$), то чем больше $n$, тем больше $x^{2n}$ и тем меньше $y$. График будет "прижиматься" к оси OX быстрее.
  • Если $0 < |x| < 1$ (например, $x=0.5$), то чем больше $n$, тем меньше $x^{2n}$ и тем больше $y$. График будет "прижиматься" к оси OY быстрее.

Обобщая все свойства, получаем, что график функции представляет собой две ветви, расположенные в первом и втором координатных углах. Они симметричны относительно оси OY, проходят через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$ и имеют в качестве асимптот оси координат.

Ниже представлен схематический график, на котором для примера и сравнения показаны функции для $n=1$ ($y=x^{-2}$) и $n=2$ ($y=x^{-4}$).

Ответ: График функции $y = x^{-2n}$ при $n \in \mathbb{N}$ состоит из двух симметричных относительно оси OY ветвей, расположенных в I и II координатных четвертях. Оси координат являются асимптотами графика: ось OY ($x=0$) — вертикальной, а ось OX ($y=0$) — горизонтальной. Все графики данного семейства проходят через точки $(1, 1)$ и $(-1, 1)$. С увеличением $n$ ветви графика становятся круче в интервале $(-1, 1)$ (кроме $x=0$) и более пологими при $|x|>1$, как показано на схематическом графике выше.