Номер 7, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Какова область значений функции $y=x^{-2n}, n \in N$?

Для нахождения области значений функции $y = x^{-2n}$ при $n \in \mathbb{N}$ проанализируем её свойства.

В первую очередь, преобразуем данную функцию, используя свойство степени с отрицательным показателем: $y = x^{-2n} = \frac{1}{x^{2n}}$

По условию, $n$ является натуральным числом, то есть $n$ может принимать значения $1, 2, 3, \ldots$. Следовательно, показатель степени $2n$ всегда будет являться положительным четным числом (например, $2, 4, 6, \ldots$).

Рассмотрим знаменатель дроби: $x^{2n}$. Поскольку показатель степени $2n$ — четное число, то при любом действительном значении $x \neq 0$ результат возведения в эту степень будет строго положительным. То есть, $x^{2n} > 0$ для всех $x$ из области определения функции. Область определения, в свою очередь, исключает $x=0$, так как на ноль делить нельзя.

Теперь проанализируем значение всей дроби $y = \frac{1}{x^{2n}}$. Числитель дроби равен 1 (положительное число), а знаменатель, как мы установили, всегда строго положителен ($x^{2n} > 0$). Деление положительного числа на положительное число всегда дает в результате положительное число. Следовательно, $y$ может принимать только значения, большие нуля ($y > 0$).

Чтобы определить, все ли положительные значения может принимать $y$, рассмотрим поведение функции на границах её области определения. Когда $x$ стремится к нулю ($x \to 0$), знаменатель $x^{2n}$ также стремится к нулю, оставаясь положительным ($x^{2n} \to 0^+$). В этом случае значение функции $y = \frac{1}{x^{2n}}$ стремится к плюс бесконечности ($y \to +\infty$). Когда $x$ стремится к плюс или минус бесконечности ($x \to \pm\infty$), знаменатель $x^{2n}$ стремится к плюс бесконечности ($x^{2n} \to +\infty$). В этом случае значение функции $y = \frac{1}{x^{2n}}$ стремится к нулю, оставаясь положительным ($y \to 0^+$).

Поскольку функция непрерывна на своей области определения $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ и ее значения могут быть как сколь угодно близки к нулю (но не достигая его), так и сколь угодно велики, она принимает все значения на интервале от $0$ до $+\infty$, не включая $0$.

Таким образом, область значений функции — это множество всех положительных действительных чисел.
Ответ: $(0, +\infty)$.