Номер 14, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

14. Какое из утверждений верно:

a) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0;

б) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

в) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

г) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0?

Для исследования функции на выпуклость (вогнутость) необходимо найти ее вторую производную $y''$. Функция является выпуклой вниз (convex), если $y'' > 0$, и выпуклой вверх (concave), если $y'' < 0$.

Дана функция $y = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$.

Найдем первую производную:

$y' = (x^{-(2n-1)})' = -(2n-1)x^{-(2n-1)-1} = -(2n-1)x^{-2n}$.

Найдем вторую производную:

$y'' = (-(2n-1)x^{-2n})' = -(2n-1)(-2n)x^{-2n-1} = 2n(2n-1)x^{-(2n+1)}$.

Запишем вторую производную в виде дроби:

$y'' = \frac{2n(2n-1)}{x^{2n+1}}$

Проанализируем знак $y''$.

Так как $n \in \mathbb{N}$ (натуральные числа, $n \ge 1$), множитель $2n(2n-1)$ в числителе всегда положителен. Показатель степени в знаменателе, $2n+1$, является нечетным натуральным числом для любого $n \in \mathbb{N}$ (например, 3, 5, 7, ...). Поэтому знак знаменателя $x^{2n+1}$ совпадает со знаком $x$.

Таким образом, знак второй производной $y''$ зависит от знака $x$:

• При $x > 0$, знаменатель $x^{2n+1} > 0$, следовательно $y'' = \frac{+}{+} > 0$. Функция выпукла вниз.
• При $x < 0$, знаменатель $x^{2n+1} < 0$, следовательно $y'' = \frac{+}{-} < 0$. Функция выпукла вверх.

Теперь проверим каждое из утверждений на основе полученных выводов.

а) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in \mathbb{N}$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$;

Из нашего анализа следует, что при $x > 0$ функция выпукла вниз ($y'' > 0$), а утверждение говорит, что она выпукла вверх. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

б) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in \mathbb{N}$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

Из нашего анализа следует, что при $x > 0$ функция выпукла вниз ($y'' > 0$), а не вверх. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in \mathbb{N}$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

Это утверждение полностью соответствует результатам нашего анализа: при $x > 0$ функция выпукла вниз ($y'' > 0$), а при $x < 0$ — выпукла вверх ($y'' < 0$).

Ответ: верно.

г) функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in \mathbb{N}$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$?

Из нашего анализа следует, что при $x < 0$ функция выпукла вверх ($y'' < 0$), а не вниз. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.