Номер 6, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

б) функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0;

в) функция $y = \sqrt[3]{x}$ убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0;

г) функция $y = \sqrt[3]{x}$ убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0?

Для того чтобы определить, какое из утверждений верно, необходимо исследовать функцию $y = \sqrt[3]{x}$ на монотонность. Характер монотонности функции (возрастает она или убывает) можно определить по знаку её первой производной.

1. Нахождение производной

Запишем функцию в степенном виде: $y = x^{1/3}$.

Найдём её производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3-1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

2. Анализ знака производной

Производная $y'$ определена для всех действительных чисел $x$, кроме $x=0$.

Для любого $x \neq 0$, выражение $x^2$ всегда положительно. Следовательно, кубический корень из $x^2$, то есть $\sqrt[3]{x^2}$, также всегда положителен. Это означает, что вся дробь $y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$ является положительной для всех $x \neq 0$.

3. Вывод о монотонности

Поскольку производная функции $y'$ положительна на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$, а сама функция $y = \sqrt[3]{x}$ непрерывна в точке $x=0$, мы можем заключить, что функция является возрастающей на всей своей области определения, то есть на промежутке $(-\infty, +\infty)$.

Теперь, основываясь на этом выводе, проанализируем каждое из предложенных утверждений:

а) функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$;
Это утверждение неверно. Как было показано, функция возрастает на всей числовой оси, в том числе и на промежутке $x \le 0$.

б) функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$;
Это утверждение верно. Поскольку функция возрастает на всём промежутке $(-\infty, +\infty)$, она возрастает и на его частях: на промежутке $[0, +\infty)$ (что соответствует $x \ge 0$) и на промежутке $(-\infty, 0]$ (что соответствует $x \le 0$).

в) функция $y = \sqrt[3]{x}$ убывает при $x \ge 0$ и убывает при $x \le 0$;
Это утверждение неверно. Функция везде возрастает, а не убывает.

г) функция $y = \sqrt[3]{x}$ убывает при $x \ge 0$ и возрастает при $x \le 0$?
Это утверждение неверно. Функция возрастает и при $x \ge 0$.

Ответ: б)