Номер 7, страница 140, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0;

б) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

в) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

г) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0?

Для определения характера выпуклости функции необходимо найти её вторую производную и исследовать её знак. Функция является выпуклой вверх (вогнутой), если её вторая производная отрицательна ($f''(x) < 0$), и выпуклой вниз (выпуклой), если её вторая производная положительна ($f''(x) > 0$).

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{x}$. Для удобства дифференцирования запишем её в степенном виде: $y = x^{1/3}$.

1. Находим первую производную функции:

$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$

2. Находим вторую производную функции:

$y'' = (\frac{1}{3}x^{-2/3})' = \frac{1}{3} \cdot (-\frac{2}{3})x^{-2/3 - 1} = -\frac{2}{9}x^{-5/3} = -\frac{2}{9\sqrt[3]{x^5}}$

3. Исследуем знак второй производной $y''$ на интервалах $(-\infty, 0)$ и $(0, \infty)$.

• При $x > 0$:
  Если $x$ — положительное число, то $x^5$ также положительно. Кубический корень из положительного числа $\sqrt[3]{x^5}$ тоже будет положительным. Следовательно, знаменатель дроби $9\sqrt[3]{x^5}$ положителен. Так как числитель равен -2 (отрицательное число), то вся дробь $y''$ будет отрицательной ($y'' < 0$). Таким образом, на интервале $(0, \infty)$ функция выпукла вверх.
• При $x < 0$:
  Если $x$ — отрицательное число, то $x^5$ (нечетная степень) будет отрицательным. Кубический корень из отрицательного числа $\sqrt[3]{x^5}$ также будет отрицательным. Следовательно, знаменатель дроби $9\sqrt[3]{x^5}$ отрицателен. Вторая производная $y''$ представляет собой частное двух отрицательных чисел (числитель -2 и отрицательный знаменатель), что дает в результате положительное число ($y'' > 0$). Таким образом, на интервале $(-\infty, 0)$ функция выпукла вниз.

Итак, мы получили, что функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$. Сравним этот результат с предложенными вариантами ответа.

а) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$.
Это утверждение полностью соответствует нашему анализу. Следовательно, оно является верным.

б) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$.
Это утверждение неверно, так как при $x < 0$ функция выпукла вниз.

в) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$.
Это утверждение неверно. Характер выпуклости на обоих интервалах указан в точности наоборот.

г) функция $y = \sqrt[3]{x}$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$.
Это утверждение неверно, так как при $x > 0$ функция выпукла вверх.

Единственное верное утверждение — это утверждение под буквой а).

Ответ: а).