Номер 4, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Что значит задать последовательность рекуррентно? Приведите пример рекуррентно заданной последовательности.

Что значит задать последовательность рекуррентно?

Задать последовательность рекуррентно (от латинского recurrere — возвращаться) — это определить каждый следующий член последовательности через один или несколько предыдущих членов. Такой способ задания всегда включает в себя два обязательных элемента:

1. Рекуррентная формула — это формула, которая выражает член последовательности с номером $n$ (обозначается $a_n$) через предыдущие члены (например, $a_{n-1}$, $a_{n-2}$ и т.д.).

2. Начальные условия — это один или несколько первых членов последовательности, которые задаются явным образом. Количество начальных членов зависит от того, сколько предыдущих членов используется в рекуррентной формуле. Например, если формула для $a_n$ использует только $a_{n-1}$, достаточно задать только первый член $a_1$.

Без начальных условий рекуррентная формула не может задать единственную последовательность, так как вычислениям не с чего будет начаться.

Ответ: Задать последовательность рекуррентно — значит задать формулу, по которой n-й член последовательности вычисляется через предыдущие члены, и указать один или несколько начальных членов последовательности.

Приведите пример рекуррентно заданной последовательности.

Классическим примером рекуррентно заданной последовательности является последовательность чисел Фибоначчи. В этой последовательности каждый следующий член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих.

Её рекуррентное определение состоит из двух частей:

1. Начальные условия: задаются первые два члена последовательности. Чаще всего это $F_1 = 1$ и $F_2 = 1$.

2. Рекуррентная формула: для всех натуральных чисел $n \ge 3$ справедлива формула $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$.

Используя эти правила, можно последовательно вычислить члены последовательности:

$F_3 = F_2 + F_1 = 1 + 1 = 2$

$F_4 = F_3 + F_2 = 2 + 1 = 3$

$F_5 = F_4 + F_3 = 3 + 2 = 5$

$F_6 = F_5 + F_4 = 5 + 3 = 8$

... и так далее. Начало последовательности чисел Фибоначчи выглядит так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Ответ: Пример рекуррентно заданной последовательности — это числа Фибоначчи, которые определяются начальными условиями $F_1 = 1, F_2 = 1$ и рекуррентной формулой $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ для $n \ge 3$.