Номер 5, страница 150, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

5. Какую последовательность называют:

а) возрастающей;

б) убывающей?

а) возрастающей

Последовательность называют возрастающей, если каждый её член, начиная со второго, больше предыдущего.
Если обозначить члены последовательности как $a_1, a_2, a_3, ..., a_n, a_{n+1}, ...$, то для возрастающей последовательности должно выполняться условие $a_{n+1} > a_n$ для всех натуральных $n$.
Примером может служить последовательность натуральных чисел: $1, 2, 3, 4, ...$ . Здесь каждый следующий член на 1 больше предыдущего. Например, $a_3 = 3$, $a_4 = 4$, и $4 > 3$.
Другой пример — геометрическая прогрессия с первым положительным членом и знаменателем больше 1. Например, последовательность $3, 6, 12, 24, ...$ (где $b_1=3, q=2$) является возрастающей.

Ответ: Возрастающей называют последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего.

б) убывающей

Последовательность называют убывающей, если каждый её член, начиная со второго, меньше предыдущего.
Для убывающей последовательности $(a_n)$ должно выполняться условие $a_{n+1} < a_n$ для всех натуральных $n$.
Примером является последовательность, заданная формулой $a_n = \frac{1}{n}$: $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, ...$. Здесь каждый следующий член меньше предыдущего, так как с ростом $n$ знаменатель дроби увеличивается, а сама дробь уменьшается. Например, $a_2 = \frac{1}{2}$, $a_3 = \frac{1}{3}$, и $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.
Другой пример — арифметическая прогрессия с отрицательной разностью. Например, последовательность $20, 15, 10, 5, ...$ (где $a_1=20, d=-5$) является убывающей.

Ответ: Убывающей называют последовательность, в которой каждый следующий член меньше предыдущего.