Номер 1, страница 141, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

1. Словесный способ задания функций. Функции $y = [x]$, $y = \{x\}$.

Словесный способ задания функций

Словесный способ задания функции — это способ, при котором правило, устанавливающее зависимость между переменными, описывается словами, а не аналитической формулой, таблицей или графиком. Этот способ часто используется для функций, которые сложно или громоздко выразить формулой, или для введения новых математических понятий. При этом каждому значению независимой переменной $x$ из области определения ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной $y$.

Пример 1: Функция Дирихле. «Значение функции равно 1, если аргумент $x$ является рациональным числом, и 0, если аргумент $x$ является иррациональным числом».

Пример 2: «Каждому действительному числу $x$ ставится в соответствие сумма его цифр после запятой в десятичной записи». Эта функция четко определена, но для нее нет простой аналитической формулы.

Словесное описание лежит в основе определения многих стандартных функций, которые затем получают свое аналитическое обозначение, как, например, функции «целая часть» и «дробная часть».

Ответ: Словесный способ задания функции — это определение функциональной зависимости с помощью словесного описания правила, по которому для каждого значения аргумента находится соответствующее значение функции.

Функции $y = [x]$, $y = \{x\}$

Эти две функции являются классическими примерами функций, которые удобно вводить с помощью словесного описания.

1. Функция $y = [x]$ (целая часть числа, или "антье")

Словесное определение: функция $y = [x]$ ставит в соответствие каждому действительному числу $x$ наибольшее целое число, которое не превосходит $x$.

Например:

• $[3.14] = 3$, так как 3 — это наибольшее целое число, которое меньше или равно 3.14.
• $[5] = 5$, так как 5 — целое число, и оно не превосходит само себя.
• $[-2.7] = -3$, так как среди всех целых чисел, меньших или равных -2.7 (..., -5, -4, -3), наибольшим является -3.
• $[-1] = -1$.

Область определения этой функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
Область значений — множество всех целых чисел, $E(y) = \mathbb{Z}$.

2. Функция $y = \{x\}$ (дробная часть числа)

Словесное определение: функция $y = \{x\}$ ставит в соответствие каждому действительному числу $x$ разность между этим числом и его целой частью.

Аналитически это записывается так: $\{x\} = x - [x]$.

Например:

• $\{3.14\} = 3.14 - [3.14] = 3.14 - 3 = 0.14$.
• $\{5\} = 5 - [5] = 5 - 5 = 0$.
• $\{-2.7\} = -2.7 - [-2.7] = -2.7 - (-3) = 0.3$.

Дробная часть числа всегда неотрицательна.
Область определения этой функции — все действительные числа, $D(y) = \mathbb{R}$.
Область значений — полуинтервал $[0; 1)$, так как $0 \le \{x\} < 1$.

Ответ: $y = [x]$ (целая часть числа) — это функция, возвращающая наибольшее целое число, не превосходящее $x$. $y = \{x\}$ (дробная часть числа) — это функция, определяемая как разность $x - [x]$, значение которой всегда находится в полуинтервале $[0; 1)$.