Номер 9, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

9. Что называют асимптотой графика функции $y = f(x)$?

Асимптота графика функции $y=f(x)$ — это прямая, к которой график функции приближается сколь угодно близко при удалении его точки в бесконечность. То есть, расстояние от точки на графике до этой прямой стремится к нулю.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальная асимптота

Прямая вида $x=a$ называется вертикальной асимптотой графика функции $y=f(x)$, если при приближении $x$ к точке $a$ (слева или справа) значение функции стремится к бесконечности. Математически это записывается как выполнение хотя бы одного из условий:
$\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ или $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$.
Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции, например, в точках, где знаменатель рациональной функции обращается в ноль, а числитель — нет.

Горизонтальная асимптота

Прямая вида $y=b$ называется горизонтальной асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x \to +\infty$ (или при $x \to -\infty$), если предел функции при стремлении $x$ к соответствующей бесконечности равен конечному числу $b$.
Математически это определяется условиями:
$\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ или $\lim_{x \to -\infty} f(x) = b$.
Функция может иметь одну горизонтальную асимптоту (если пределы при $x \to +\infty$ и $x \to -\infty$ равны), две разные горизонтальные асимптоты или не иметь их вовсе.

Наклонная асимптота

Прямая вида $y=kx+b$ (где $k \neq 0$) называется наклонной асимптотой графика функции $y=f(x)$ при $x \to \pm\infty$, если расстояние между графиком функции и этой прямой стремится к нулю.
Коэффициенты $k$ и $b$ находятся с помощью пределов:
$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx)$
Наклонная асимптота существует только в том случае, если оба предела существуют и конечны, причем $k \neq 0$. Если $k=0$, то асимптота является горизонтальной. Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, наклонной асимптоты нет.

Ответ: Асимптотой графика функции $y=f(x)$ называют прямую, к которой неограниченно приближается график данной функции по мере того, как его точка удаляется на бесконечность. В зависимости от её положения относительно осей координат, асимптота может быть вертикальной (прямая $x=a$), горизонтальной (прямая $y=b$) или наклонной (прямая $y=kx+b$). Каждому виду асимптоты соответствует своё определение через пределы функции.