Номер 6, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Является ли функция $y = x^{-(2n-1)}$, $n \in N$, чётной или нечётной?

Для того чтобы определить, является ли функция $y(x) = x^{-(2n-1)}$, где $n \in \mathbb{N}$, четной или нечетной, необходимо проверить ее на соответствие двум условиям: симметричность области определения и выполнение одного из равенств: $y(-x) = y(x)$ (для четной функции) или $y(-x) = -y(x)$ (для нечетной функции).

Сначала найдем область определения функции. Функцию можно представить в виде $y(x) = \frac{1}{x^{2n-1}}$. Данное выражение определено для всех $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Условие $x^{2n-1} \neq 0$ выполняется для всех $x \neq 0$. Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме нуля: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно начала координат, так как если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ ей принадлежит.

Теперь проверим, как ведет себя функция при замене $x$ на $-x$. Найдем $y(-x)$:$y(-x) = (-x)^{-(2n-1)}$.

Рассмотрим показатель степени $2n-1$. По условию, $n$ — натуральное число ($n = 1, 2, 3, \ldots$). Это означает, что $2n$ всегда является четным числом, а $2n-1$ — всегда нечетным натуральным числом (например, 1, 3, 5, ...).

Используем свойство степеней, согласно которому возведение отрицательного основания в нечетную степень дает отрицательный результат: $(-a)^k = -a^k$, если $k$ — нечетное число. Преобразуем выражение для $y(-x)$:$y(-x) = (-x)^{-(2n-1)} = \frac{1}{(-x)^{2n-1}}$.

Поскольку показатель степени $2n-1$ является нечетным, то $(-x)^{2n-1} = -x^{2n-1}$. Подставим это в наше выражение:$y(-x) = \frac{1}{-x^{2n-1}} = - \frac{1}{x^{2n-1}}$.

Сравнивая полученный результат с исходной функцией $y(x) = \frac{1}{x^{2n-1}}$, мы видим, что выполняется равенство:$y(-x) = -y(x)$.

Так как область определения функции симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $y(-x) = -y(x)$, данная функция является нечетной при любом натуральном значении $n$.

Ответ: функция является нечетной.