Номер 4, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Является ли функция $y = x^{-2n}$, $n \in N$, чётной или нечётной?

4.

Чтобы определить, является ли функция четной или нечетной, нужно проверить ее на соответствие определениям. Функция $y = f(x)$ является четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$. Функция является нечетной, если ее область определения симметрична и выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим заданную функцию $y(x) = x^{-2n}$, где $n \in \mathbb{N}$.

Сначала найдем область определения функции. Функцию можно представить в виде дроби $y(x) = \frac{1}{x^{2n}}$. Дробь определена, когда ее знаменатель не равен нулю. Значит, $x^{2n} \ne 0$, что выполняется при $x \ne 0$. Область определения функции $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична относительно начала координат, так как если $x$ принадлежит области определения, то и $-x$ тоже ей принадлежит.

Теперь проверим выполнение условия четности/нечетности. Для этого найдем значение функции в точке $-x$:

$y(-x) = (-x)^{-2n} = \frac{1}{(-x)^{2n}}$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in \{1, 2, 3, ...\}$), то показатель степени $2n$ всегда будет четным натуральным числом (например, 2, 4, 6 и так далее). При возведении любого ненулевого числа в четную степень результат будет таким же, как при возведении в эту степень противоположного ему числа. Таким образом, $(-x)^{2n} = x^{2n}$.

Подставим это в выражение для $y(-x)$:

$y(-x) = \frac{1}{x^{2n}}$.

Сравнивая это с исходной функцией $y(x) = x^{-2n} = \frac{1}{x^{2n}}$, мы видим, что выполняется равенство $y(-x) = y(x)$.

Так как область определения симметрична и $y(-x) = y(x)$, то функция является четной.

Ответ: функция является четной.