Номер 10, страница 133, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

10. Запишите уравнения асимптот графика функции $y = x^{-2n}$, $n \in N$.

Данная функция $y = x^{-2n}$, где $n$ — натуральное число ($n \in N$), может быть представлена в виде $y = \frac{1}{x^{2n}}$. Так как $n$ — натуральное число, показатель $2n$ всегда будет положительным четным числом (2, 4, 6, и т.д.). Для нахождения асимптот графика этой функции исследуем ее поведение в точках разрыва и на бесконечности.

Сначала найдем вертикальные асимптоты. Они могут существовать в точках, где функция не определена. Знаменатель дроби $x^{2n}$ обращается в ноль при $x=0$. Это единственная точка разрыва функции. Найдем предел функции при приближении к этой точке. Поскольку показатель степени $2n$ является четным, знаменатель $x^{2n}$ всегда положителен при $x \neq 0$ и стремится к нулю, когда $x \to 0$.

$\lim_{x \to 0} y = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2n}} = +\infty$

Так как предел функции в точке $x=0$ равен бесконечности, прямая $x=0$ (ось ординат) является вертикальной асимптотой.

Далее найдем горизонтальные асимптоты, исследовав поведение функции на бесконечности ($x \to \pm\infty$). Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид $y=k$, где $k = \lim_{x \to \pm\infty} f(x)$.

$\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^{2n}} = 0$, так как знаменатель неограниченно возрастает.

$\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^{2n}} = 0$, так как показатель $2n$ четный, и знаменатель $(-\infty)^{2n} = +\infty$ также неограниченно возрастает.

Поскольку пределы на плюс и минус бесконечности равны нулю, прямая $y=0$ (ось абсцисс) является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот вида $y=kx+b$ (при $k \neq 0$) у функции нет, так как уже существует горизонтальная асимптота.

Ответ: $x=0$, $y=0$.