Номер 11, страница 127, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

11. Какое из утверждений верно:

а) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0;

б) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

в) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0;

г) функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0?

Для определения интервалов выпуклости функции используется знак ее второй производной. Функция является выпуклой вниз (convex), если на интервале ее вторая производная неотрицательна ($f''(x) \ge 0$). Функция является выпуклой вверх (concave), если ее вторая производная неположительна ($f''(x) \le 0$).

Найдем вторую производную для функции $y(x) = x^{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$.

Первая производная:

$y'(x) = (x^{2n+1})' = (2n+1)x^{2n}$

Вторая производная:

$y''(x) = ((2n+1)x^{2n})' = (2n+1)(2n)x^{2n-1} = 2n(2n+1)x^{2n-1}$

Теперь проанализируем знак второй производной $y''(x)$.

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то $n \ge 1$. Это означает, что множитель $2n(2n+1)$ всегда строго положителен. Следовательно, знак второй производной $y''(x)$ полностью определяется знаком выражения $x^{2n-1}$.

Показатель степени $2n-1$ также зависит от $n$. Так как $n \ge 1$, показатель $2n-1$ будет нечетным натуральным числом (например, при $n=1$ степень равна 1, при $n=2$ степень равна 3, и так далее).

Рассмотрим знаки $y''(x)$ в зависимости от знака $x$:

При $x > 0$, выражение $x^{2n-1}$ всегда будет положительным числом. Значит, $y''(x) > 0$. В этом случае функция выпукла вниз.

При $x < 0$, выражение $x^{2n-1}$ (как отрицательное число в нечетной степени) всегда будет отрицательным числом. Значит, $y''(x) < 0$. В этом случае функция выпукла вверх.

Сделав этот предварительный анализ, проверим каждое из предложенных утверждений.

а) функция $y = x^{2n+1}, n \in \mathbb{N},$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$;

Данное утверждение неверно. Наш анализ показал, что при $x > 0$ функция выпукла вниз ($y'' > 0$), а при $x < 0$ функция выпукла вверх ($y'' < 0$). Утверждение (а) говорит об обратном.

Ответ: утверждение неверно.

б) функция $y = x^{2n+1}, n \in \mathbb{N},$ выпукла вверх при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

Данное утверждение неверно. Оно правильно описывает поведение функции при $x < 0$ (выпукла вверх), но ошибочно для $x > 0$, где функция выпукла вниз.

Ответ: утверждение неверно.

в) функция $y = x^{2n+1}, n \in \mathbb{N},$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вверх при $x < 0$;

Данное утверждение верно. Оно в точности соответствует результатам нашего анализа: при $x > 0$ функция выпукла вниз ($y'' > 0$), а при $x < 0$ — выпукла вверх ($y'' < 0$).

Ответ: утверждение верно.

г) функция $y = x^{2n+1}, n \in \mathbb{N},$ выпукла вниз при $x > 0$ и выпукла вниз при $x < 0$?

Данное утверждение неверно. Оно правильно описывает поведение функции при $x > 0$ (выпукла вниз), но ошибочно для $x < 0$, где функция выпукла вверх.

Ответ: утверждение неверно.