Номер 6, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

6. Является ли функция $y = x^{2n+1}$, $n \in N$, чётной или нечётной?

6.

Чтобы определить, является ли функция чётной или нечётной, необходимо проверить выполнение следующих условий. Функция $y = f(x)$ называется:

• чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
• нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Рассмотрим заданную функцию $f(x) = x^{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $n = 1, 2, 3, \ldots$).

1. Область определения.
Данная функция является степенной функцией. Её область определения – все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Этот промежуток симметричен относительно нуля, поэтому можно переходить к проверке свойства чётности/нечётности.

2. Проверка равенства.
Найдём значение функции в точке $-x$:

$f(-x) = (-x)^{2n+1}$

По условию, $n$ — натуральное число. Выражение $2n$ всегда даёт чётное число при любом натуральном $n$. Тогда выражение $2n+1$ всегда будет нечётным числом. Например:

• Если $n=1$, то $2n+1 = 3$.
• Если $n=2$, то $2n+1 = 5$.
• Если $n=3$, то $2n+1 = 7$.

При возведении отрицательного основания в нечётную степень знак минус сохраняется. То есть, для любого нечётного показателя $k$ верно равенство $(-a)^k = -a^k$.

В нашем случае показатель степени $2n+1$ нечётный, следовательно:

$f(-x) = (-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$

Сравним полученный результат с $-f(x)$:

$-f(x) = -(x^{2n+1}) = -x^{2n+1}$

Таким образом, мы получили, что $f(-x) = -f(x)$. Это соответствует определению нечётной функции.

Вывод: Функция $y = x^{2n+1}$ при любом $n \in \mathbb{N}$ является нечётной.

Ответ: нечётная.