Номер 2, страница 126, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

$y-x$, $n \in \mathbb{N}$.

2. Покажите схематически, как выглядит график функции $y = x^{2n+1}$, $n \in \mathbb{N}$.

2.

Для того чтобы схематически изобразить график функции $y = x^{2n+1}$ при $n \in \mathbb{N}$, проанализируем ее свойства.

Анализ показателя степени
Показатель степени в функции равен $k = 2n+1$. Так как по условию $n$ — натуральное число (то есть $n = 1, 2, 3, \ldots$), то $2n$ — это всегда четное число ($2, 4, 6, \ldots$). Следовательно, $2n+1$ — это всегда нечетное число, не меньшее 3 ($3, 5, 7, \ldots$). Таким образом, мы рассматриваем семейство степенных функций с нечетным показателем, таких как $y=x^3$, $y=x^5$, $y=x^7$ и так далее.

Основные свойства функции $y = x^{2n+1}$

1. Область определения и область значений. Функция определена для всех действительных чисел, $x \in (-\infty; +\infty)$. Множество значений также охватывает все действительные числа, $y \in (-\infty; +\infty)$.
2. Симметрия. Функция является нечетной, поскольку для любого $x$ выполняется равенство: $y(-x) = (-x)^{2n+1} = (-1)^{2n+1}x^{2n+1} = -x^{2n+1} = -y(x)$. График нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки $O(0,0)$).
3. Опорные точки. График любой функции этого семейства проходит через три фиксированные точки, не зависящие от $n$:
   • $(-1, -1)$, так как $y(-1) = (-1)^{2n+1} = -1$.
   • $(0, 0)$, так как $y(0) = 0^{2n+1} = 0$.
   • $(1, 1)$, так как $y(1) = 1^{2n+1} = 1$.
4. Монотонность и поведение. Функция является строго возрастающей на всей своей области определения. Ее производная $y' = (2n+1)x^{2n}$ всегда неотрицательна ($y' \ge 0$), так как $2n$ — четный показатель, и равна нулю только в точке $x=0$.
   • При $|x| < 1$, значения функции по модулю меньше, чем у $y=x$. Чем больше $n$, тем сильнее график "прижимается" к оси $Ox$.
   • При $|x| > 1$, значения функции по модулю больше, чем у $y=x$. Чем больше $n$, тем "круче" становится график, то есть он быстрее удаляется от оси $Ox$.
   Точка $(0,0)$ является точкой перегиба, так как в ней график меняет направление выпуклости (с выпуклости вверх при $x<0$ на вогнутость при $x>0$).

Все эти свойства определяют характерную форму графика, которая обобщает вид кубической параболы $y=x^3$.

Ответ:

Схематически график функции $y = x^{2n+1}$, где $n \in \mathbb{N}$, представляет собой кривую, симметричную относительно начала координат, которая проходит через точки $(-1, -1)$, $(0, 0)$ и $(1, 1)$. Функция является возрастающей на всей числовой оси. В интервале $(-1, 1)$ график "прижат" к оси абсцисс, а при $|x|>1$ устремляется к бесконечности круче, чем график $y=x$. С увеличением натурального числа $n$ кривая становится еще более "плоской" вблизи нуля и еще более "крутой" при $|x|>1$.