Номер 7, страница 141, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

7 Среднее арифметическое десяти последовательных результатов измерения равно $-2$. Найдите восьмой по счёту результат, если известно, что результаты образуют арифметическую прогрессию с разностью $2$.

Обозначим десять последовательных результатов измерений как члены арифметической прогрессии $a_1, a_2, \ldots, a_{10}$.

Согласно условию задачи, нам даны: количество членов прогрессии $n = 10$, их среднее арифметическое $M = -2$, и разность прогрессии $d = 2$. Требуется найти восьмой член прогрессии, $a_8$.

Среднее арифметическое $n$ чисел определяется как их сумма, делённая на их количество. Для арифметической прогрессии это записывается как $M = \frac{S_n}{n}$, где $S_n$ — это сумма первых $n$ членов.

Используя эту формулу, найдём сумму десяти результатов измерений ($S_{10}$): $S_{10} = M \times n = -2 \times 10 = -20$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$, где $a_1$ — первый член прогрессии.

Подставим известные значения ($S_{10}=-20$, $n=10$, $d=2$) в эту формулу, чтобы определить первый член прогрессии $a_1$: $-20 = \frac{2a_1 + (10-1) \cdot 2}{2} \cdot 10$.

Упростим полученное уравнение. Сначала разделим обе его части на 10: $-2 = \frac{2a_1 + 9 \cdot 2}{2}$ $-2 = \frac{2a_1 + 18}{2}$.

Далее, умножим обе части на 2: $-4 = 2a_1 + 18$.

Теперь решим это линейное уравнение относительно $a_1$: $2a_1 = -4 - 18$ $2a_1 = -22$ $a_1 = -11$.

Зная первый член прогрессии, мы можем найти любой другой её член по формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Найдём восьмой член прогрессии ($a_8$), подставив $n=8$: $a_8 = a_1 + (8-1)d$ $a_8 = -11 + 7 \cdot 2$ $a_8 = -11 + 14$ $a_8 = 3$.

Ответ: 3