Номер 2, страница 142, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

2 На какое из указанных чисел делится произведение $213 \cdot 65$?

1) 26;

2) 142;

3) 45;

4) 39?

Чтобы определить, на какое из предложенных чисел делится произведение $213 \cdot 65$, не обязательно вычислять само произведение. Вместо этого можно разложить множители и предложенные числа на простые множители. Если произведение делится на число, то все простые множители этого числа должны содержаться в наборе простых множителей произведения.

1. Найдем простые множители для чисел $213$ и $65$.

Сумма цифр числа $213$ равна $2 + 1 + 3 = 6$. Так как $6$ делится на $3$, то и $213$ делится на $3$.
$213 = 3 \cdot 71$. Число $71$ является простым.

Число $65$ заканчивается на $5$, значит, оно делится на $5$.
$65 = 5 \cdot 13$. Число $13$ является простым.

Таким образом, произведение $213 \cdot 65$ можно представить в виде произведения простых множителей:
$213 \cdot 65 = 3 \cdot 71 \cdot 5 \cdot 13$.

2. Теперь проверим каждый из предложенных вариантов ответа.

1) 26
Разложим число $26$ на простые множители: $26 = 2 \cdot 13$.
В разложении произведения $213 \cdot 65$ есть множитель $13$, но нет множителя $2$. Следовательно, произведение не делится на $26$.

2) 142
Разложим число $142$ на простые множители: $142 = 2 \cdot 71$.
В разложении произведения $213 \cdot 65$ есть множитель $71$, но нет множителя $2$. Следовательно, произведение не делится на $142$.

3) 45
Разложим число $45$ на простые множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
В разложении произведения $213 \cdot 65$ есть множители $3$ и $5$, но множитель $3$ встречается только один раз, а для делимости на $45$ он должен встречаться дважды ($3^2$). Следовательно, произведение не делится на $45$.

4) 39
Разложим число $39$ на простые множители: $39 = 3 \cdot 13$.
В разложении произведения $213 \cdot 65 = 3 \cdot 71 \cdot 5 \cdot 13$ присутствуют оба множителя: и $3$, и $13$.
Мы можем сгруппировать множители следующим образом: $(3 \cdot 13) \cdot (71 \cdot 5) = 39 \cdot 355$.
Это показывает, что произведение $213 \cdot 65$ делится на $39$.
Ответ: 4