Номер 4, страница 143, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4 На какое из указанных чисел делится значение выражения

$108^2 - 87^2$?

1) 70;

2) 91;

3) 95;

4) 143.

Для того чтобы определить, на какое из указанных чисел делится значение выражения $108^2 - 87^2$, необходимо это выражение упростить. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Применим эту формулу для нашего случая, где $a = 108$ и $b = 87$:

$108^2 - 87^2 = (108 - 87)(108 + 87)$

Теперь вычислим значения в каждой из скобок:

$108 - 87 = 21$

$108 + 87 = 195$

Таким образом, значение исходного выражения равно произведению чисел $21$ и $195$:

$108^2 - 87^2 = 21 \times 195$

Чтобы проверить делимость на указанные в вариантах ответа числа, разложим множители $21$ и $195$ на простые множители. Это позволит нам увидеть все простые делители исходного выражения.

$21 = 3 \times 7$

$195 = 5 \times 39 = 3 \times 5 \times 13$

Следовательно, полное разложение значения выражения на простые множители выглядит так:

$21 \times 195 = (3 \times 7) \times (3 \times 5 \times 13) = 3^2 \times 5 \times 7 \times 13$

Теперь проверим, на какое из предложенных чисел делится полученное значение. Число делится на другое число, если все простые множители делителя содержатся в разложении делимого.

1) 70: Разложение на простые множители: $70 = 2 \times 5 \times 7$. В разложении нашего выражения $3^2 \times 5 \times 7 \times 13$ отсутствует множитель $2$. Следовательно, значение выражения на 70 не делится.

2) 91: Разложение на простые множители: $91 = 7 \times 13$. Оба множителя, $7$ и $13$, присутствуют в разложении нашего выражения. Следовательно, значение выражения делится на 91.

3) 95: Разложение на простые множители: $95 = 5 \times 19$. В разложении нашего выражения отсутствует множитель $19$. Следовательно, значение выражения на 95 не делится.

4) 143: Разложение на простые множители: $143 = 11 \times 13$. В разложении нашего выражения отсутствует множитель $11$. Следовательно, значение выражения на 143 не делится.

Таким образом, единственное число из предложенных вариантов, на которое делится значение выражения $108^2 - 87^2$, — это 91.

Ответ: 91.