Номер 19.7, страница 128, часть 2 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

19.7 В сводной таблице распределения данных некоторого измерения оказались пустые места. Заполните их.

Варианта Сумма

№ 1 № 2 № 3 № 4

Кратность 5

Частота 0,45 0,1

Частота, % 25 20

Для заполнения пустых ячеек таблицы необходимо использовать основные определения и формулы из статистики. Введем обозначения:

• $n_i$ — кратность (абсолютная частота) варианты $i$;

• $N$ — объем выборки (общее количество измерений, равное сумме всех кратностей);

• $p_i$ — частота (относительная частота) варианты $i$;

• $p_i\%$ — частота варианты $i$ в процентах.

Эти величины связаны следующими соотношениями:

$p_i = \frac{n_i}{N}$

$p_i\% = p_i \times 100\% = \frac{n_i}{N} \times 100\%$

Сумма всех кратностей равна объему выборки ($\sum n_i = N$), сумма всех относительных частот равна 1 ($\sum p_i = 1$), а сумма всех относительных частот в процентах равна 100 ($\sum p_i\% = 100$).

1. Нахождение общего объема выборки ($N$)

Для нахождения общего объема выборки $N$ используем данные для Варианты № 2, по которой известны и кратность ($n_2 = 5$), и частота в процентах ($p_2\% = 25\%$).

Подставим эти значения в формулу для частоты в процентах:

$p_2\% = \frac{n_2}{N} \times 100\%$

$25 = \frac{5}{N} \times 100$

Решим полученное уравнение относительно $N$:

$25 \cdot N = 5 \times 100$

$25N = 500$

$N = \frac{500}{25} = 20$

Ответ: Общий объем выборки $N = 20$. Это значение соответствует сумме всех кратностей.

2. Расчет недостающих значений в таблице

Зная объем выборки $N=20$, мы можем последовательно рассчитать все остальные неизвестные значения.

Варианта № 1

Дано: частота $p_1 = 0,45$.

Вычисляем кратность $n_1$: $n_1 = p_1 \times N = 0,45 \times 20 = 9$.

Вычисляем частоту в процентах $p_1\%$: $p_1\% = p_1 \times 100\% = 0,45 \times 100\% = 45\%$.

Ответ: Кратность: 9, Частота, %: 45.

Варианта № 2

Дано: кратность $n_2 = 5$ и частота в процентах $p_2\% = 25\%$.

Вычисляем частоту $p_2$: $p_2 = \frac{n_2}{N} = \frac{5}{20} = 0,25$.

Ответ: Частота: 0,25.

Варианта № 3

Дано: частота $p_3 = 0,1$.

Вычисляем кратность $n_3$: $n_3 = p_3 \times N = 0,1 \times 20 = 2$.

Вычисляем частоту в процентах $p_3\%$: $p_3\% = p_3 \times 100\% = 0,1 \times 100\% = 10\%$.

Ответ: Кратность: 2, Частота, %: 10.

Варианта № 4

Дано: частота в процентах $p_4\% = 20\%$.

Вычисляем частоту $p_4$: $p_4 = \frac{p_4\%}{100} = \frac{20}{100} = 0,2$.

Вычисляем кратность $n_4$: $n_4 = p_4 \times N = 0,2 \times 20 = 4$.

Ответ: Кратность: 4, Частота: 0,2.

3. Заполнение столбца «Сумма»

Заполним итоговый столбец, просуммировав значения в каждой строке. Это также послужит проверкой правильности вычислений.

Сумма кратностей: $n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 9 + 5 + 2 + 4 = 20$.

Сумма частот: $p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 0,45 + 0,25 + 0,1 + 0,2 = 1,00$.

Сумма частот, %: $p_1\% + p_2\% + p_3\% + p_4\% = 45 + 25 + 10 + 20 = 100\%$.

Ответ: Сумма для строки «Кратность» равна 20, для строки «Частота» — 1, для строки «Частота, %» — 100.

Итоговая заполненная таблица: