Номер 3, страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

3. Какую функцию называют ограниченной снизу, а какую – ограниченной сверху?

Функция, ограниченная снизу

Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной снизу на некотором множестве $X$ (которое является частью её области определения), если существует такое действительное число $m$, что для любого значения аргумента $x$ из множества $X$ выполняется неравенство:

$f(x) \ge m$

Это означает, что у всех значений функции на данном множестве есть "нижняя планка", или нижняя граница, которую они не могут пересечь. Геометрически это значит, что график функции на множестве $X$ полностью расположен выше (или касается) некоторой горизонтальной прямой $y=m$.

Пример: Парабола $y=x^2$ является функцией, ограниченной снизу на всей области определения ($X = \mathbb{R}$). Для любого действительного числа $x$ значение $x^2$ будет неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$. В данном случае в качестве нижней границы $m$ можно взять число 0 или любое число меньше нуля (например, -1, -5 и т.д.).

Ответ: Функцию называют ограниченной снизу, если существует число $m$, такое, что все значения функции больше или равны этому числу.

Функция, ограниченная сверху

Функцию $y=f(x)$ называют ограниченной сверху на некотором множестве $X$ (которое является частью её области определения), если существует такое действительное число $M$, что для любого значения аргумента $x$ из множества $X$ выполняется неравенство:

$f(x) \le M$

Это означает, что у всех значений функции на данном множестве есть "верхняя планка", или верхняя граница, которую они не могут превысить. Геометрически это значит, что график функции на множестве $X$ полностью расположен ниже (или касается) некоторой горизонтальной прямой $y=M$.

Пример: Парабола $y=-x^2+4$ является функцией, ограниченной сверху на всей области определения ($X = \mathbb{R}$). Так как $x^2 \ge 0$, то $-x^2 \le 0$, и, следовательно, $-x^2+4 \le 4$. В данном случае в качестве верхней границы $M$ можно взять число 4 или любое число больше четырёх (например, 5, 10 и т.д.).

Ответ: Функцию называют ограниченной сверху, если существует число $M$, такое, что все значения функции меньше или равны этому числу.