Номер 4, страница 99, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мордкович, Семенов

4. Приведите пример графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции. Объясните почему.

В качестве примера графика на координатной плоскости, который нельзя считать графическим заданием некоторой функции, можно привести любую окружность. Например, рассмотрим окружность с центром в начале координат и радиусом $R=5$, которая задается уравнением $x^2 + y^2 = 25$.

Объяснение

Согласно определению, функция — это правило, по которому каждому значению независимой переменной (аргумента $x$) из некоторого множества ставится в соответствие единственное значение зависимой переменной (функции $y$).

Для графика окружности $x^2 + y^2 = 25$ это условие не выполняется. Возьмем, к примеру, значение аргумента $x=3$. Подставим его в уравнение:
$3^2 + y^2 = 25$
$9 + y^2 = 25$
$y^2 = 16$

Это уравнение имеет два решения: $y_1 = 4$ и $y_2 = -4$.

Таким образом, одному значению аргумента $x=3$ соответствуют два различных значения $y$: $4$ и $-4$. Это прямо противоречит определению функции.

Геометрически это можно проверить с помощью «теста вертикальной линией». Если можно провести вертикальную прямую (прямую вида $x = const$), которая пересекает график более чем в одной точке, то этот график не является графиком функции. В нашем случае прямая $x=3$ пересекает окружность в двух точках: $(3, 4)$ и $(3, -4)$.

Ответ: Примером графика, не являющегося графиком функции, может служить окружность, заданная уравнением $x^2+y^2=R^2$ (например, $x^2+y^2=25$). Этот график не является функцией, потому что для некоторых значений аргумента $x$ (для всех $x$ из интервала $(-R, R)$) существует более одного соответствующего значения $y$.